Öх

2 Öх

(х)¢ = 1

Логарифмы.

log_ав = с

log_а 1 = 0

log_а а = 1

log_а (m n) = log_а m + log_а n

log_а m = log_а m - log_а n

n

log_а mⁿ = n log_а m

log_а ⁿÖm = 1 log_а m

n

log_ав = log_св

log_с а

Основные тригонометрические тождества

sin²x + cos²x = 1

tg x = sin x

cos x

ctg x = cos x

sin x

1 + ctg² x = 1

sin² x

1 + tg² x = 1

cos² x

tg x ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (a ± b) = sina cosb ± cosa sinb

cos (a ± b) = cosa cosb ± sina sinb

tg (a ± b) = (tga ± tgb)

(1 + tga tgb)

ctg (a ± b) = ctga ctgb + 1

ctgb ± ctga

sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a - b)

2        2

sina - sinb = 2 cos (a + b) sin (a - b)

2        2

cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a - b)

2        2

cosa - cosb = - 2 sin (a + b) sin (a - b)

2        2

tga ± tgb = sin (a ± b)

cosa cosb

ctga ± ctgb = sin (b ± a)

sina sinb

sin²a - sin²b = cos²b - cos²a =

sin (a + b) sin (a - b)

cos²a - sin²b = cos²b - sin²a =

cos (a + b) cos (a - b)

Связь между тригонометрическими функциями

sina = ± Ö1 - cos²a

sina = tga

± Ö1 + tg²a

sina = 1

± Ö1 + ctg²a

cosa = ± Ö1 - sin²a

cosa = 1

± Ö1 + tg²a

cosa = ctga

± Ö1 + ctg²a

tga = sina

± Ö1 - sin²a

tga = ± Ö1 - cos²a

cosa

tga = 1

ctga

ctga = ± Ö1 - sin²a

sina

ctga = cosa

± Ö1 - cos²a

ctga = 1

tga

Формулы преобразования произведения

sina sinb = cos (a - b) - cos (a + b)

2

cosa cosb = cos (a - b) + cos (a + b)

2

sina cosb = sin (a + b) + sin (a - b)

 2

tga tgb = tga + tgb

ctga + ctgb

ctga tgb = ctga + tgb

tga + ctgb

ctga ctgb = ctga + ctgb

tga + tgb

Формулы двойных углов

sin2a = 2 sina cosa

sina = 2 sin (a) cos (a)

cos2a = cos²a - sin²a =

= 1 - 2sin²a =

= 2cos²a - 1

tg2a = 2 tga

1 - tg²a

= 2

ctga - tga

tga = 2 tg (a/2)

1 - tg² (a/2)

ctg2a = ctg²a - 1

2 ctga

= ctga - tga

 2

ctga = ctg² (a/2) - 1

2 ctg (a/2)

sin x = a

x = (-1)ⁿ arksin a + pn

cos x = a

x = ± arkcos a + 2pn

tg x = a

x = arktg a + pn

ctg x = a

x = arkctg a + pn

Формулы приведения

sin (p /2 - a) = + cosa

sin (p /2 + a) = + cosa

sin (p - a) = + sina

sin (p + a) = - sina

sin (3p/2 - a) = - cosa

sin (3p /2 + a) = - cosa

sin (2p - a) = - sina

sin (2p + a) = + sina

----------------

cos (p/2 - a) = + sina

cos (p/2 + a) = - sina

cos (p - a) = - cosa

cos (p + a) = - cosa

cos (3p/2 - a) = - sina

cos (3p/2 + a) = + sina

cos (2p - a) = + cosa

cos (2p + a) = + cosa

-----------------

tg (p/2 - a) = + ctga

tg (p/2 + a) = - ctga

tg (p - a) = - tga

tg (p + a) = + tga

tg (3p/2 - a) = + ctga

tg (3p/2 + a) = - ctga

tg (2p - a) = - tga

tg (2p + a) = + tga

-------------

ctg (p/2 - a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (p - a) = - ctga

ctg (p + a) = + ctga

ctg (3p/2 - a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (2p - a) = - ctga

ctg (2p + a) = + ctga

sin (- a) = - sina

cos (- a) = cosa

tg (- a) = - tga

В прямоугольном треугольнике

a² + b² = c²

a = c sina

a = b tga

b = c cosa

теорема синусов:

a = b = c

sina sinb sing

теорема косинусов:

a² = b² + c² - 2 bc cosa

S = ½ ab

Площади фигур Прямоугольник

S = a b = ½ d₁ d₂ sina,

d₁ и d₂ - диагонали

a - угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sina

S = ½ d₁ d₂ sina

Трапеция

S = a + b h = ½ d₁ d₂ sina

2

Круг

S = l r = p r²

2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sina

Формула Герона:

S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)

p = a +b + c

2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

где Р – периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c

4S

радиус вписанной окружности:

r = 2S

a + b + c

длина окружности:

l = 2pr

Квадрат

S = a² = d²/2

Ромб

S = a² sina = ah = ½ dD

где d - малая диагональ

D - большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = S_осн h

Куб

V = abc = a³

Призма

V = S_осн h = S_^сеч l

l - грань призмы

Пирамида

V = 1/3 S_осн h

Цилиндр

V = S_осн h = p r² h = 1/4p d² h

r - радиус основания

d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 S_осн h = 1/3 p r² h

Шар

V = 4/3 p r³

Площади поверхностей

Призма

S_п = S_бок + 2S_осн

S_бок = ph = S_^сеч l

p = a + b +c

Куб

S_п = 6a²

Пирамида четырехугольная

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = ½ P_осн h

h – высота боковой грани

Пирамида треугольная

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = S_осн cosj

j - угол наклона грани

Цилиндр

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = 2p rh

S_осн = 2pr (h + r)

Конус

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = prl

S_осн = pr (l + r)

Параллелепипед

S_п = S_бок + 2S_осн

S_бок = P_осн l

Шар

S = 4 pr²

Значения углов

a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p

sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1  0

cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1

tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0

ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -