Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули

Цель работы: хотя уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го – 7-го класса, где они проходят самые азы уравнений с модулями. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досканального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

1. Введение:

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, програмировании и других точных науках.

В архитектуре-это исходная еденица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике-это термин, применяемый в различных облостях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

2. Понятия и определения

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, сродержащее переменные.

Уравнение с модулем-это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:

Модуль-абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

3. Доказательство теорем

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа  равна большему из двух чисел a или -a.

Доказательство

1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a < 0 < a. Отсюда следует, что -a < a.

Например, число 5 положительно, тогда -5 - отрицательно и -5 < 0 < 5, отсюда -5 < 5.

В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и - a.

2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a < - a, т. е. большим числом является -a. По определению, в этом случае, |a| = -a - снова, равно большему из двух чисел -a и a.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

В самом деле, как , так и  равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой.

Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства

Умножая второе равенство  на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства:  справедливые для любого действительного числа a. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из  

В самом деле, если  то, по определению модуля числа, будем иметь  С другой стороны, при   значит |a| =

Если a < 0, тогда |a| = -a и  и в этом случае |a| =

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если  то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)

Рис

4.Способы решения уравнений, содержащих модуль.

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основыватся на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решитм аналитически и графически уравнение |x - 2| = 3.

Решение

Аналитическое решение

1-й способ

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x - 2  0, тогда оно "выйдет" из под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x - 2 = 3. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно:  или x - 2=-3

Таким образом, получаем, либо x - 2 = 3, либо x - 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим:  

Ответ:

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо .

Графическое решение

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являтся корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построениии графиков, не всегда я вляются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

2-й способ

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю:

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 9):

Рис. 9

Получим две смешанных системы:

(1)  (2)

Решим каждую систему:

(1)  (удовлетворяет данному промежутку)

(2)  (удовлетворяет данному промежутку)

Ответ:

Графическое решение

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций  и

Для построения графика функции , построим график функции  - это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке  а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить в оси OX.

Графиком функции  является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY (см. рис. 10).

Рис. 10

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции y=3 пересеклась с графиком функции y=|x – 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:

x=-1, x=5

Ответ:

Пример 2. Решитм аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.

Решение:

Аналитическое решение

Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Графическое решение

Преобразуем уравнение: : 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Графиком функции  являются лучи - биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции  является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.

Рис. 11

Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений (см. рис. 11).

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x + 2| = 2x + 1.

Решение:

Аналитическое решение

1-й способ

Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, - именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.

Поскольку в левой части - модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е.  Таким образом, область допустимых

значений модуля

Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:

(1)  и (2)

Решим каждую систему:

(1)  входит в промежуток  и является корнем уравнения.

(2)  x = -3 не входит в промежуток  и не является корнем уравнения.

Ответ:

2-й способ

Установим, при каких значениях x модуль в левой части уравнения обращается в нуль:

Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение (см. рис. 12):

Рис. 12

В результате будем иметь совокупность смешанных систем:

 

Решая полученные системы, находим:

(1)   входит в промежуток и  является корнем уравнения.

(2)  не входит в промежуток и x=-3 не является корнем уравнения

Ответ:

4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами этих чисел.

Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

|a|=|b|  a=b или a=-b

a2=b2  a=b или a=-b (1)

Отсюда в свою очередь получим, что

|a|=|b|  a2=b2

(2)

Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

x + 1=2x – 5 или x + 1=-2x + 5

x – 2x=-5 – 1 x + 2x=5 – 1

-x=-6|(:1) 3x=4

x=6 x=11/3

Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=11/3

Таким образом корни исходного уравнения x1=6, x2=11/3