Навигация
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,
МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА
РЕФЕРАТ
по дисциплине: Высшая математика
на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
Выполнила: студентка 1 курса
Экономического факультета
(вечернее отделение)
Козлова М.А.
Проверил: Рошаль А.С.
Москва 2002 год
2
Содержание Введение 32. Нахождение асимптоты 4
2.1 Геометрический смысл асимптоты 5
2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6
3. Виды 8
3.1 Горизонтальная асимптота 8
3.2 Вертикальная асимптота 9
3.3 Наклонная асимптота 10
Использованная литература 123
ВведениеАсимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).
4
2. Нахождение асимптоты
Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех
x < а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥), то прямая
y = kx + l
называется асимптотой графика функции f (x) при x ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥).
Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥
(или х ® - ¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.
x
- 3x - 2
Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,
2 2
получим y = x - 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ® ± ¥, то прямая y = x-4
является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,
так и при х ® - ¥.
5
2.1 Геометрический смысл асимптоты
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М
- проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,
q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q ¹
,
MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).
(рис.1)
Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM - QM = f (x) – (kx +l),
MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,
то и lim MP = 0, и наоборот. х ® + ¥
х ® + ¥
Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ® + ¥ или, соответственно, х ® - ¥).
6
Похожие работы
... ;. В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy. 8 3. Виды 3.1 Горизонтальная асимптота Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции ...
... можно легко доказать, используя теоремы о пределах. 37)Св-ва функций непрерывных на отрезке.Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M f(x) M.Доказательство этого свойства основано на том, ...
... b). Тогда, если f'(x) > 0, х Î (a, b), то f(x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f'(x) < 0, х Î (a, b), то f(x) строго монотонно убывает на (a, b). 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 2.1 Достаточные условия экстремума функции В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика. ...
... в соответствии с вариантом, выбираемым по последней цифре номера зачетной книжки в отдельной тетради. Каждая задача должна содержать условие, подробное решение и вывод. 1. Введение в математический анализ Задача 1. Найти область определения функции. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Задача 2. Найти пределы функций. . Задача 3. Найти ...
0 комментариев