Общий метод отыскания асимптоты

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

 

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ® - ¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ® + ¥. Тогда

lim  = k.

х ® + ¥

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х ® + ¥

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является

х ® + ¥

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

х ® + ¥

lim [f (x) - (kx + l)] = 0,

х ® + ¥

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim  = k. и l = lim (f (x) – kx)

 х ® + ¥ х ® + ¥

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim  = k. и l = lim (f (x) – kx)

х ® + ¥ х ® + ¥

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:

7

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ® + ¥, так и при х ® - ¥.

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

8

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

 

Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x ® +¥) (рис.2)

(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

 

(рис.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

3.2 Вертикальная асимптота

(рис.4)

Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥. Тогда говорят, что прямая x = a является

 х ® ¥

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или - ¥.

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

3.3 Наклонная асимптота

 

(рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ® ± ¥

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ® ¥

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.

11

Аналогично можно показать, что при x ® - ¥ асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции  выглядит так (рис.6)

(рис.6)

12

 

Использованная литература

 

1.   Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

2.   Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

3.   Лекции по математике