Исследование неоднородной нестационарной сети случайного доступа с динамическим протоколом в условиях перегрузки

2. Исследование неоднородной нестационарной сети случайного доступа с динамическим протоколом в условиях перегрузки

Рассмотрим сеть связи, описанную в разделе 1, в которой интенсивность входящего потока зависит от времени и равна , где Т – некоторый интервал времени, в течение которого функционирует сеть связи. Структура сети изображена на рис. 2.1.

 

Рис. 2.1 – Модель системы массового обслуживания

В нестационарном режиме распределение

удовлетворяют системе дифференциально-разностных уравнений вида

(2.1)

где , , , .

Замечание: система уравнений (2.1) получена аналогично системе уравнений (1.1). Вероятности переходов для состояний системы совпадают с точностью до замены .

Систему (2.1) будем решать в условиях перегрузки, то есть при .

 

Первое приближение

В системе уравнений (2.1) произведем замену переменных: . В результате такой замены производится переход от дискретной переменной  к непрерывной переменной , от t перешли к , причем  такое, что . После замены производная равна .

Тогда уравнения (2.1) перепишем

(2.2)

Решим систему уравнений (2.2) в два этапа.

1 этап. Считая  и предполагая, что  будем иметь

(2.3)

.

Выразим  через функцию  и получим

(2.4)

где  асимптотическая плотность распределения нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов.

Обозначим

(2.5)

( - это асимптотическая вероятность того, что обслуживающий прибор находится в состоянии k). Заметим, что из системы (2.3) следуют равенства связывающие ,  и

(2.6)

.

Найдем вид функции , для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.2) все функции с аргументом  разложим в ряд по приращению аргумента , ограничиваясь слагаемыми порядка , получим

(2.7)

Просуммируем левые и правые части уравнений системы (2.7) и получим равенство

. (2.8)

С учетом того, что

равенство (2.8) принимает вид

. (2.9)

Уравнение (2.9) является однородным линейным уравнением с частными производными первого порядка. Для того чтобы его решить составим уравнение

,

его решение , тогда

Общее решение уравнения (2.9) имеет вид

, (2.10)

где  - произвольная дифференцируемая функция, аналитическое выражение которой найдем из начальных условий.

Пусть распределение в начальный момент времени  где  некоторая плотность распределения. Тогда следовательно . Возьмем в качестве начальной плотности распределения , где  - дельта-функция Дирака, а ,  - число заявок в источнике повторных вызовов в начальный момент времени.

Таким образом , из свойств функции Дирака следует, что .

То есть мы получили, что ,  имеет смысл асимптотического среднего.

Из приведенных рассуждений вытекает еще одно важное следствие, а именно

 имеет место , тогда  (отрицательная функция  противоречит смыслу задачи). В нашем случае  совпадает с пропускной способностью системы.

Перейдем ко второму приближению, в котором будем искать распределение отклонения от асимптотического среднего.

 

Второе приближение

В исходной системе уравнений (2.1) сделаем замену переменных .

Заметим, что в новых обозначениях производная по времени  равна . С учетом этого система (2.1) примет вид

(2.11)

Решение системы уравнений (2.11) аналогично решению системы (2.2), но проводится в три этапа.

1 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.13) сделаем предельный переход при  и предположим, что , получим

(2.12)

.

Решим эту систему аналогично тому, как решили систему уравнений (2.3). Введем функцию  и выразим через нее , получим

(2.13)

где асимптотическая плотность распределения отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от асимптотического среднего.

2 этап. Функции  будем искать с точностью до  в форме

(2.14)

Найдем вид функций ,  и . Для этого в системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом  разложим в ряд по приращению аргумента , ограничимся слагаемыми порядка . Получим

(2.15)

В уравнения (2.15) подставим  в форме (2.14), приведем подобные и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно  вида

,

, (2.16)

Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть зависимость и ранг матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение уравнений (2.16)существовало, необходимо выполнение равенства

(2.17)

Из однородного линейного уравнения с частными производными первого порядка (2.9) мы знаем, что . Таким образом, можно сделать вывод, что система (2.16) разрешима. При условии, что функция  известна, решение можно записать в виде

,

(2.18)

Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию . Перейдем к третьему этапу.

3 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом  разложим в ряд по приращению аргумента , ограничиваясь слагаемыми порядка , получим

(2.19)

Теперь подставим в уравнения (2.19)  в форме (2.14) и просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь

(2.20)

Подставляя вместо  и  их выражения, полученные на втором этапе получим для  уравнение Фоккера-Планка

, (2.21)

где

Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии [8] является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым средним и дисперсией

. (2.22)

3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим протоколом в условиях большой задержки

Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в разделе 1, в условиях большой задержки. В этом случае удобнее рассматривать случай, когда интенсивность каждой заявки в ИПВ равна . Структура такой СМО имеет вид рис. 3.1.

 

Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания

Вероятности переходов из состояния системы  в произвольный момент времени t в состояние  за бесконечно малый интервал времени  показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.

Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного распределения процесса , описывающего функционирование сети

(3.1)

где

Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния

Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически невозможно, но можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то есть при .

 

Первое приближение

Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных . В результате замены производится переход от дискретной переменной  к непрерывной переменной .

В новых обозначениях . Тогда система (3.1) примет вид

(3.2)

Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.

1 этап. Считая  и предполагая, что , будем иметь

(3.3)

.

Выразим  через функцию  и получим

(3.4)

где   - асимптотическая плотность нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов.

Обозначим

(3.5)

Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства

(3.6)

.

Осталось найти вид функции . Для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап. В системе (3.2) разложим функции по приращению аргумента , ограничиваясь слагаемыми порядка , получим систему

(3.7)

Просуммируем полученные уравнения, поделим на  и перейдем . Тогда будем иметь

. (3.8)

С учетом того, что

равенство (3.8) принимает вид

. (3.9)

Таким образом мы получили, что  удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка с коэффициентом переноса равным , и нулевым коэффициентом диффузии. Из определения для коэффициента переноса можно сделать вывод, что , то есть  зависит от времени и  – имеет смысл асимптотического среднего, в ее окрестности достаточно долго флуктуируют значения нормированного процесса .

 

Второе приближение

Зная асимптотическое среднее, найдем распределение вероятностей значений отклонения  от его среднего. Для этого в исходной системе уравнений (3.1) сделаем замену переменных , , ,.

В новых обозначениях производная  равна .

Будем иметь

 (3.10)

Решение системы (3.10) аналогично решению системы (3.2), но проводится в три этапа.

1 этап. В системе дифференциальных уравнений (3.10) положим  и найдем решение в виде

(3.11)

где  – асимптотическое распределение нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов в окрестности асимптотического среднего.

Перейдем ко второму этапу.

2 этап. Неизвестные функции  будем искать с точностью до  форме

(3.12)

где  имеют вид аналогичный (3.5), где в качестве  выступает  и для них справедливы равенства (3.7).

Найдем вид функций .

С точностью до  (3.10) запишем

(3.13)

В уравнения (3.13) подставим  в форме (3.12), уничтожим подобные слагаемые и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно функций  вида

,

, (3.14)

Система (3.14) будет иметь решение, если . Из уравнения Фоккера-Планка (3.9) мы знаем, что . Таким образом, можно сделать вывод, что система (3.14) разрешима. При условии, что функция  известна, решение системы (3.14) можно записать так

(3.15)

Перейдем к третьему этапу.

3 этап. С точностью до  уравнения (3.10) запишем следующим образом

(3.16)

Теперь подставляем в систему уравнений (3.16)  в форме (3.12), оставляем слагаемые, имеющие порядок не выше  и суммируем уравнения. Получим равенство для нахождения

 (3.17)

В полученное равенство подставим выражения для функции  и , найденные на втором этапе. В результате приведения подобных, для  получим уравнение Фоккера-Планка

(3.18)

с коэффициентом переноса  и коэффициентом диффузии

Уравнение Фоккера-Планка (3.18) получено для некоторого диффузионного процесса , плотность распределения вероятностей которого .

Запишем стохастическое дифференциальное уравнение для  в общей форме

, (3.19)

 где  - винеровский процесс с нулевым средним и единичным коэффициентом диффузии, в нашем случае оно приобретает вид

. (3.20)

Введем новый случайный процесс , (3.21)

для его приращения справедливо

Выберем функцию  так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению . Например, . Тогда  и, следовательно, .

Выразим из (3.21) функцию  (заметим, что ) и получим

(3.22)

Анализируя вид процесса  можно сделать вывод, что он распределен по нормальному закону. Найдем  и , которые полностью определяют вид плотности распределения . Учитывая свойства винеровского процесса, получим

(3.23)

Найдем дисперсию.

рассмотрим второе слагаемое подробнее. Для этого введем обозначение , тогда получим

С учетом того, что  будем иметь

Тогда в окончательном варианте дисперсия равна

(3.24)

Теперь можно записать решение уравнения Фоккера-Планка (3.18), которое имеет вид

(3.25)

Пусть , где - точка покоя дифференциального уравнения , которая определяется конечным уравнением

, (3.26)

где .

Возможны три варианта:

1. , тогда точек покоя не существует (рис. 3.5).

2. , тогда существует одна точка покоя .

3. , тогда существует две точки покоя  и .

Для примера рассмотрим случай, когда  (рис. 3.6). Тогда уравнение (3.26) имеет единственный корень . Коэффициенты диффузии уравнения Фоккера-Планка не зависят от времени и равны . Если взять , то уравнение (3.26) будет иметь два корня  и  (рис. 3.7). Для первой точки коэффициенты диффузии равны , для второй . Точка  является нежелательной. Если предположить, что сеть связи работает в стационарном режиме, то в окрестности точки  распределение нормированного числа заявок в ИПВ является нормальным [1] и имеет вид

, (3.27)

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Рис. 3.7