Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ

3.    Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.

4.    Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где:

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: , т.е. - уравнение горизонтальной асимптоты.

5.    Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:

Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. :

, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда , следовательно , значит точка  - точка экстремума функции.

На участке производная  > 0, значит, при , заданная функция возрастает.

На участке производная  < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.).

Следовательно  - точка максимума заданной функции .

6.    Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:

Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :

, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , значит , тогда , отсюда

Отсюда , .

На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика функции.

На участке  производная  >0,

значит это тоже участок вогнутости графика функции.

Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.

На участке производная <0, значит, при  график заданной функции является выпуклым (рис. 3).

Следовательно, точки ,  - точки перегиба графика заданной функции .

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).

Часть II. Задание №8. Вопрос №8.

Фирма производит товар двух видов в количествах и. Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны  и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.

, ,

Решение:

Пусть  - функция прибыли, тогда

Найдем первые частные производные функции :

, . Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему:

Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого

введем обозначения: , , ,

тогда , , , . Т.к. > 0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальная прибыль равная:

Ответ:

и достигается при объемах выпуска и .

Задание №12. Вопрос №9.

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение:

Ответ:

Задание №14. Вопрос №2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .

Решение:

Ответ:

Данный несобственный интеграл – расходящийся.

Задание №15. Вопрос №6.

Решить уравнение

Решение:

. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда

Ответ:

Решением данного уравнения является .

Задание №18. Вопрос №9.

Найти общее решение уравнения:

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения: , тогда , следовательно , , тогда

фундаментальную систему решений образуют функции:

,

Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений  и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Представим правую часть уравнения, как  и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:

. Имеем , , тогда т.к.  - многочлен второй степени, то общий вид правой части: . Найдем частные решения:

, ,

Сравним коэффициенты при  слева и справа, найдем , решив систему:

, отсюда .

Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: .

Ответ:

.

Дополнительно Часть I. Задание №7. Вопрос №1.

Найти предел: .

Решение:

.

Ответ:

Заданный предел равен .

Задание №9. Вопрос №8.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:

.

Решение:

1.    Область определения данной функции: .

2.    Т.к. точка  не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к.  и , следовательно, уравнение  – уравнение вертикальной асимптоты.

3.    Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: , где:

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной

асимптоты имеет вид: .

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем

точки пересечения наклонной асимптоты  с осями

 координат:

С осью OX: точка,

с осью OY: точка

Ответ:

и  – уравнения асимптот заданной функции.

Задание №11. Вопрос №6.

Исходя из определения производной, докажите: .

Решение:

Т.к. по определению производная функции  в точке  вычисляется по формуле , тогда приращение  в точке : .

Следовательно .

Ответ:

.

Задание №15. Вопрос №1.

Найдите пределы, используя правило Лопиталя: .

Решение:

.

Ответ:

Заданный предел равен .

Дополнительно Часть II. Задание №7. Вопрос №1.

Написать в точке  уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: .

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции  в точке  имеет вид: . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: . Подставив в полученное уравнение координаты точки  вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:

 

.

Ответ:

Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке  имеет вид .

Задание №9. Вопрос №8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  в области: .

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.

Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:

, точка  не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями  и . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:

1.    , тогда , , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

Эта система имеет четыре решения:

, ,	Точка  – точка условного максимума, при этом функция .
, ,	Точка  – точка условного максимума, при этом функция .
, ,	Точка  – точка условного минимума, при этом функция .
, ,	Точка  – точка условного минимума, при этом функция .

2.    , тогда , ,

следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

Эта система также имеет четыре решения:

, ,	Точка  – точка условного максимума, при этом функция .
, ,	Точка  – точка условного максимума, при этом функция .
, ,	Точка  – точка условного минимума, при этом функция .
, ,	В точке  – точка условного минимума, при этом функция .

Следовательно, заданная функция  в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках  и  и наименьшего в точках  и  при этом графики функций  и  касаются окружности  в точках ,  и ,  соответственно (см. рис.6).

Ответ:

Заданная функция  при условии  имеет  и .

Задание №11. Вопрос №6.

Вычислить неопределенный интеграл: .

Решение:

Ответ:

Заданный неопределенный интеграл равен .

Задание №15. Вопрос №1.

Решить уравнение: .

Решение:

. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение:

.

Ответ:

Решением данного уравнения является .