Навигация
Высшая математика, интегралы (шпаргалка)
9574
знака
4
таблицы
1
изображение
Равномерная непрерывность
Определение 28.7: Функция 
называется равномерно непрерывной на множестве 
, если: 
. (в отличие от критерия Коши: 
).
Пояснение: 
Пусть: 
. Тогда: 
Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве 
.
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция определена и ограничена на отрезке 
, и если 
можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше 
. То - интегрируема на .
Замечание: Очевидно, что если - интегрируема на , а 
отличается от только в конечном числе точек, то - интегрируема на и 
.
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть - интегрируема на , 
, тогда: 
функция интегрируема на 
и функция 
называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция 
- интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция - непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где .
Замечание 1: Из дифференцируемости функции 
следует её непрерывность, т.е. 
Замечание 2: Поскольку 
- одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: 
. Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Пусть для вычисления интеграла 
от непрерывной функции сделана подстановка 
.
Теорема. Если 1. Функция и ее производная 
непрерывны при 
2. множеством значений функции при является отрезок [a;b]
3. 
, то =
.
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница =
. Т.к. 
, то 
является первообразной для функции 
, . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
=
.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
Похожие работы
... . Позитивизма. Для позитивистов верным и испытанным является только то, что получено с помощью количественных методов. Признают наукой лишь математику и естествознание, а обществознание относят к области мифологии. Неопозитивизм, Слабость педагогики неопозитивисты усматривают в том, что в ней доминируют бесполезные идеи и абстракции, а не реальные факты. Яркий ...
... положительное отношение к человеку. 5.Обаяние, как помощник в общении Что же помогает человеку в его общении с другими людьми? На что ему опираться? Секрет удачного общения в обаянии. Что же это такое? раздумья о тех, кто удачливее в контактах, кто легче привлекает к себе симпатии и уважение собеседников. «Обаяние»-понятие весьма неоднозначное. Есть, например, «обаяние молодости», о котором ...
... Windows будем подразумевать операционные системы Windows 95 и Windows NT, имеющие практически идентичный интерфейс пользователя. С точки зрения работы в них системы MathCAD 7. 0 разницы между этими операционными системами нет. 1. 2. Инсталляция и запуск системы Системы MathCAD 7. 0 PRO поставляются на CD-ROM (возможна поставка минимальных версий и на 3, 5-дюймовых дискетах). При этом полная ...
0 комментариев