1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)
3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной.
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функция
и функция
такие, что подынтегральное выражение
может быть записано в виде:
.
Тогда: . Т.е. вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
(который может оказаться проще) и последующей подстановке
.
Пример: Вычислить .
.
Подстановка: .
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл , где
. Введём новую переменную формулой:
, где функция
дифференцируема на
и имеет обратную
, т.е. отображение
на
- взаимно-однозначное. Получим:
. Тогда
. Т.е. вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
(который может оказаться проще) и последующей подстановке
.
Пример: Вычислить .
, откуда:
.
Интегрирование по частям. Пусть - дифференцируемые функции, тогда справедлива формула:
, или короче:
. Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение
можно так представить в виде
, что интеграл
вычисляется проще исходного.
Пример: Вычислить .
Положим . Тогда
. В качестве
выберем первообразную при
. Получим
. Снова
. Тогда
. Окончательно получим:
.
Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла методом интегрирования по частям получается зависимость:
. Откуда можно получить выражение для первообразной:
.
Постановка задачи:
1). | 2). |
3). |
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть , тогда, если:
, где
, то
Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:
1. | 2. | 3. | 4. | 5. |
6. | 7. | 8. | 9. | 10. |
Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
Сделав подстановку: , получим:
.
тогда
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена - комплексные, сделав подстановку:
, получим:
.
2). Корни многочлена - действительные:
. Подстановка:
, получаем:
.
b). Подстановка: , далее, если:
1). | 2). |
3). |
c).
Если подстановка -
Универсальная подстановка: , тогда:
подстановка:
или
- нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала
Интегрируется по частям
Определение 26.1: Функция называется первообразной для функции
на
, если:
.
Пусть и
- первообразные функции
на
. Тогда:
.
Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции на
называется объединение всех первообразных
на этом интервале. Обозначается:
.
Замечание 26.1: Если - одна из первообразных
на
, то
.
Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной на
, т.е.
.
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
,
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
, где a
0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если, то и
, где u=
- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка таких, что:
называют разбиением отрезка
. Длины частичных отрезков разбиения обозначим:
. Мелкостью разбиения
(читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е.
.
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех точки
. Интегральной суммой функции
на отрезке
с разбиением
будем называть сумму (зависящую от разбиения
и выбора точек
) вида:
.
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции на отрезке
назовём такое число
, что
. Обозначается:
.
Определение 28.4: Функция называется интегрируемой на отрезке
, если существует конечный предел её интегнральных сумм на
. Обозначается:
.
Теорема 28.1: Если интегрируема на отрезке
, то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: .
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: .
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: .
Определение 28.8: Определённым интегралом функции на
называется число
, равное пределу интегральных сумм
на
. Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то , т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-ла.
... . Позитивизма. Для позитивистов верным и испытанным является только то, что получено с помощью количественных методов. Признают наукой лишь математику и естествознание, а обществознание относят к области мифологии. Неопозитивизм, Слабость педагогики неопозитивисты усматривают в том, что в ней доминируют бесполезные идеи и абстракции, а не реальные факты. Яркий ...
... положительное отношение к человеку. 5.Обаяние, как помощник в общении Что же помогает человеку в его общении с другими людьми? На что ему опираться? Секрет удачного общения в обаянии. Что же это такое? раздумья о тех, кто удачливее в контактах, кто легче привлекает к себе симпатии и уважение собеседников. «Обаяние»-понятие весьма неоднозначное. Есть, например, «обаяние молодости», о котором ...
... Windows будем подразумевать операционные системы Windows 95 и Windows NT, имеющие практически идентичный интерфейс пользователя. С точки зрения работы в них системы MathCAD 7. 0 разницы между этими операционными системами нет. 1. 2. Инсталляция и запуск системы Системы MathCAD 7. 0 PRO поставляются на CD-ROM (возможна поставка минимальных версий и на 3, 5-дюймовых дискетах). При этом полная ...
0 комментариев