Навигация
0 и целые. Три элемента модели динамического программирования определяются следующим образом:
1. Этап і ставится в соответствии предмету і-го наименования, і=1,2,…n.
2. Варианты решения на этапе і описываются количеством mi предметов і-го наименования, подлежащих загрузке. Соответствующая прибыль равна rimi. Значение mi заключено в пределах от 0 до [W/wi], где [W/wi] – целая часть числа W/wi.
3. Состояние xi на этапе і выражает суммарный вес предметов, решения о погрузке которых приняты на этапах і,і+1,...n. Это определение отражает тот факт, что ограничения по весу является единственным, которое связывает n этапов вместе.
Пусть fi(xi)-максимальная суммарная прибыль от этапов і,і+1,...,n при заданном состоянии xi. Проще всего рекуррентное уравнение определяется с помощью следующей двухшаговой процедуры.
Шаг 1. Выразим fi(xi) как функцию fi+1(xi+1) в виде
где fn+1(xn+1)=0.
Шаг 2. Выразим xi+1 как функцию xi для гарантии того, что левая часть последнего уравнения является функцией лишь xi. По определению xi-xi+1 представляет собой вес, загруженный на этапе і, т.е. xi-xi+1=wimi или xi+1=xi-wimi. Следовательно, рекуррентное уравнение приобретает следующий вид:
2.2 Рекуррентные соотношения для процедур прямой и обратной прогонки
Фермеру принадлежит стадо овец, насчитывающее k голов. Один раз в год фермер принимает решение о том, сколько овец продать и сколько оставить. Прибыль от продажи одной овцы в і-м году составляет pi. Количество оставленных в i-м году овец удваивается в (1+1)-м году. По истечении п лет фермер намеревается продать все стадо.
Этот чрезвычайно простой пример приводится для того, чтобы наглядно продемонстрировать преимущества алгоритма обратной прогонки по сравнению с алгоритмом прямой прогонки. Вычислительные схемы процедур прямой и обратной прогонки обладают различной эффективностью в случаях, когда этапы модели нумеруются в некотором специальном порядке. Такая ситуация имеет место в приводимом примере, где этап j ставится в соответствие году j, т. е. этапы должны рассматриваться в хронологическом порядке.
Сначала построим рекуррентные соотношения для процедур прямой и обратной прогонки, а затем проведем сравнение двух вычислительных схем. Важное различие между двумя формулировками непосредственно следует из определения состояния.
Обозначим количества оставленных и проданных в j-м году овец через xj и yj, соответственно. Положим Zj,=xj+yj. Из условий задачи следует, что
z1=2x0=2k,
zj=2xj-1,j=l,2, ...,n.
Состояние на этапе j можно описать с помощью переменной zj, которая выражает количество имеющихся к концу этапа j овец для распределения на этапах j+1, j+2, ..., n, или с помощью переменной xj, которая выражает количество имеющихся к началу этапа j+1 овец, обусловленное принятыми на этапах 1,2,...,j решениями. Первое определение ориентировано на построение рекуррентного соотношения
для процедуры обратной прогонки, тогда как второе определение приводит к использованию алгоритма прямой прогонки.
Обозначим через fi(zi) максимальную прибыль, получаемую на этапах j,j+1,…,n, при заданном zj. Рекуррентное соотношение имеет следующий вид:
Заметим, что yj и zj - неотрицательные целые числа. Кроме того, уj(количество овец, проданных в конце периода j) должно быть меньше или равно zj. Верхней границей для значений zj, является величина 2jk (где k- исходный размер стада), которая соответствует отсутствию продажи.
Алгоритм прямой прогонкиОбозначим через gj(xj) максимальную прибыль, получаемую на этапах 1,2,...,j при заданном xj, (где xj— размер стада к началу этапа J+1). Рекуррентное соотношение записывается в следующем виде:
- целое.
Сравнение двух формулировок показывает, что представление xj-1 через xjсоздает более существенные препятствия для вычислений, чем представление zj+1 через zj.
В замене xj-1=(xj+yj)/2 подразумевается целочисленность правой части, тогда как на равенство zj+1=2(zj-yj) такое требование не накладывается. Таким образом в случае процедуры прямой прогонки значения yj и xj, связанные неравенством
Yj<=2jk -Xj,
должны дополнительно удовлетворять условию целочисленности их полусуммы, связанному с видом зависимости хj-1 от xj,. Рассмотренный пример иллюстрирует трудности вычислительного характера, которые обычно возникают при использовании алгоритма прямой прогонки.
Похожие работы
... задачи, то лучше потратить время на построение приближенного алгоритма, чем пытаться построить полиномиальный, или же, если это позволяют условия, использовать алгоритмы с экспоненциальной сложностью работы Глава 2 Методы решения задачи о рюкзаке 2.1 Классификация методов На практике очень часто возникают NP-полные задачи, задач о рюкзаке – одна из них . Конечно надежд, на то что для ...
... 0 505/103 0 792/103 669/103 500/103 Анализ Таблицы 6 позволяет сделать вывод о допустимости и оптимальности базиса XБ4=(x5, x7, x1, x2, x4)T. 3.4 Результат решения задачи планирования производства В результате решения поставленной задачи симплекс-методом получили набор производимой продукции x=(x1, x2, x3, x4, x5)=( 15145/103, 8910/103, 0, 1250/103, 3255/103), который удовлетворяет всем ...
... времени на возню с файлами на дисках или ожидание ввода, не смогут продемонстрировать какое-то впечатляющее увеличение скорости. 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЯЗЫКОВ ПРОГРАММИРОВАНИЯ 2.1. Машинно – ориентированные языки Машинно – ориентированные языки – это языки, наборы операторов и изобразительные средства которых существенно зависят от особенностей ЭВМ (внутреннего языка, структуры памяти и ...
... реакции или вмешательства оператора. Точки диалога по своей природе подразделяются на информационные (для ввода данных) и управляющие (для выбора дальнейшего хода обработки). Принятый в автоматизированной системе маркетинга одежды способ построения человеко-машинного диалога обеспечивает максимальную наглядность, простоту и удобство работы в режиме эксплуатации. 3. Определение емкости, оценка ...
0 комментариев