Имеет один корень, если a = 0

1. имеет один корень, если a = 0.

2. имеет два действительных корня Z_1,2=, если a > 0.

3. не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)×(– a) = i²×= i²×()². Тогда уравнение Z² = a запишется в виде: Z² – i²×()² = 0

т.е. (Z – i×)(Z + i×) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z_1,2 =  i× 

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

a×Z² + b×Z + c = 0

По известной общей формуле

Z_1,2= (10)

Итак, при любых действительных a(a0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10

D = b² – 4×a×c

 положителен , то уравнение a×Z² + b×Z + c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение a×Z² + b×Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a×Z² + b×Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть Z₁,Z₂ – корни квадратного уравнения a×Z² + b×Z + c = 0, a0. Тогда справедливы свойства:

1. Теорема Виета: Z₁ + Z₂ = –

Z₁×Z₂ =

2.   При всех комплексных Z справедлива формула

a×Z² + b×Z + c = a×(Z – Z₁)×(Z – Z₂)

 

 

 

Пример 5:

Z² – 6·Z + 10 = 0

Д = b² – 4·a·c

Д = 6² – 4·10 = – 4

– 4 = i²·4

Z_1,2 =

Z_1,2 =

Ответ: Z₁ = Z₂ = 3 + i

Пример 6:

3·Z² +2·Z + 1 = 0

Д = b² – 4·a·c

Д = 4 – 12 = – 8

Д = –1·8 = 8·i²

Z_1,2 =  =

Z_1,2 =

Z₁ = – ()

Z₂ = –

Ответ: Z₁ = Z₂ = –

Пример 7:

Z⁴ – 8·Z² – 9 = 0

Z² = t

t² – 8·t – 9 = 0

Д = b² – 4·a·c = 64 + 36 = 100

t_1,2 = = = 4

t₁ = 9 t₂ = – 1

Z² = 9 Z² = – 1

Z_1,2 =3 Z =

Z_3,4 =i

Ответ: Z_1,2 =3, Z_3,4 =i

Пример 8:

Z⁴ + 2·Z² – 15 = 0

Z² = t

t² + 2·t – 15 = 0

Д = b² – 4·a·c = 4 + 60 = 64

t_1,2 = = = –14

t₁ = – 5 t₂ = 3

Z² = – 5  Z² = 3

Z² = – 1·5 Z_3,4 =

Z² = i²·5

Z_1,2 =i

Ответ: Z_1,2 =i, Z_3,4 =

Пример 9:

Z² = 24 – 10·i

Пусть Z = X + Y·i

(X + Y·i)² = X² + 2·X·Y·i –Y²

X² + 2·X·Y·i – Y² = 24 – 10·i

{

(X² – Y²) + 2·X·Y·i = 24 – 10·i

X2 – Y2 = 24 2·X·Y = – 10

Y = –

X² – = 24

 умножим на X²0

X⁴ – 24·X² – 25 = 0

X² = t

t² – 24·t – 25 = 0

t₁·t₂ = – 25

t₁ + t₂ = 24

t₁ = 25 t₂ = – 1

X² = 25 X² = – 1 — нет решений

X_1,2 = 5

X₁ = 5 X₂ = – 5

Y₁ = – Y₂ =

Y₁ = – 1 Y₂ = 1

Тогда:

Z_1,2 =(5 – i)

Ответ: Z_1,2 =(5 – i)

ЗАДАЧИ:

 

{

1)

	X2 + 3·X·Y + Y2 = 6 X + Y = 2

 

 ( 2 – Y)² + 3·( 2 – Y)·Y + Y² = 6

4 – 4·Y + Y² + 6·Y – 3·Y² + Y² = 6

–Y² + 2Y – 2 = 0 /–1

Y² – 2Y + 2 = 0

Д = b² – 4·a·c = 4 – 8 = – 4

– 4 = – 1·4 = 4· i²

Y_1,2 =  =  = 1 i

Y₁ = 1– i Y₂ = 1 + i

{

X₁ = 1 + i X₂ = 1– i

Ответ: {1 + i ; 1– i}

{1– i ; 1 + i}

 

{

2)

	Z3 + w5 = 0 Z2×4 = 1 114 = 1

{

Z3 = –w5 Z2×12 = 1

— Возведем в квадрат

— Возведем в куб

 

w¹⁰×¹² = 1

w¹⁰×¹⁰ ײ = 1

(w×)¹⁰ײ = 1

()¹⁰ײ = 1

т.к. w = A + B×i

 = A – B×i

w× = (A + B×i)·( A – B×i) = A² – (B×i)² = A² + B² = ² = w×

т.е. ²⁰·² = 1

Возьмем модуль от обоих частей последнего уравнения:

²⁰·² = 1

²² = 1

т.е.

 = 1

Тогда из уравнения получим

² = 1

т.е.

 = 1

w₁ = 1 w₂ = –1

Подставим эти значения в первое уравнение данной системы и найдем численное значение Z

1) w₁ = 1

Z⁶ = 1

1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ

Z = r×(cosj + i×sinj)

r⁶×(cos6j + i×sin6j) = cos(2pk) + i·sin(2pk), kÎZ

r⁶ = 1 6j = 2pk

r = 1 j = , kÎZ

Z = cos+ i·sin,  kÎZ

k = 0,1,2...

k = 0

Z₁ = cos0+ i×sin0 = 1 + 0 = 1

Z₁ = 1

k = 1

Z₂ = cos + i·sin = i = i

Z₂ =i

k = 2

Z₃ = cos+ i·sin = –i

Z₃ = –i

k = 3

Z₄ = cosp + i·sinp = –1 + 0 = –1

Z₄ = –1

k = 4

Z₅ = cos + i·sin = –i

Z₅ = –i

k = 5

Z₆ = cos + i·sin = i

Z₆ = i

Ответ: Z₁ = 1, Z₂ =i, Z₃ = –i, Z₄ = –1,  Z₅ = –i, Z₆ = i

2) w₂ = –1

 Z⁶ = –1

–1 = 1·( cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r⁶×(cos6j + i×sin6j) = cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk), kÎZ

r⁶ = 1 6j = p + 2pk

r = 1 j = , kÎZ

Z = cos() + i·sin(), kÎZ

k = 0,1,2...

k = 0

Z₁ = cos + i·sin = i

Z₁ =i

k = 1

Z₂ = cos() + i·sin() = 0 + i = i

Z₂ = i

k = 2

Z₃ = cos() + i·sin() = –i

Z₃ = –i

k = 3

Z₄ = cos() + i·sin() = –i

Z₄ = –i

k = 4

Z₅ = cos() + i·sin() = 0 – i = – i

Z₅ = – i

k = 5

Z₆ = cos() + i·sin() = i

Z₆ =i

Ответ: Z₁ =i ,  Z₂ = i,  Z₃ = –i ,  Z₄ = –i, Z₅ = – i,  Z₆ =i

 

3)

Доказать, что сумма двух комплексных чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.

1 СПОСОБ:

Пусть Z₁=X+Y×i и Z₂=U+V×i

Доказать что:

Предположим противоположное:

> / т.к. корень существует только из неотрицательного числа, то можно возвести в квадрат обе части неравенства.

X²+2·X·U+U²+Y²+2·Y·V+V² > X²+Y²+U²+V²+2·

2·(X·U+Y·V) > 2·

Если мы предположили верно, то X·U+Y·V > 0, а поэтому возведем в квадрат:

X²·U²+2·XU·Y·V+Y²·V² > X²·U² + X²·V²+Y²·U²+Y²·V²

2·X·Y·V·U > X²·V²+Y²·U²

X²·V²+Y²·U² – 2·X·Y·V·U < 0

(X·V + Y·U)² < 0

Это невозможно, т.к. A² 0, значит полученное нами неравенство неверно.

что и требовалось доказать

2 СПОСОБ:

 

Пусть Z₁ и Z₂– два произвольных комплексных числа. Z₁­– соответствует точке A, Z₂– соответствует точке B.

В силу неравенства треугольника

т.е.

Что и требовалось доказать.

 [S1]