Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Конспект по дискретной математики

6003
знака
0
таблиц
1
изображение

Дискретная математика


Введение


Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:

Язык дискретной математики;

Логические функции и автоматы;

Теория алгоритмов;

Графы и дискретные экстремальные задачи.


Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.


Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.


Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.


Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.


Множества и операции над ними


Одно из основных понятий математики – множество.


Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.


Множество обозначают: M,N …..

m1, m2, mn – элементы множества.


Символика

A  M – принадлежность элемента к множеству;

А  М – непринадлежность элемента к множеству.


Примеры числовых множеств:

1,2,3,… множество натуральных чисел N;

…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

множество рациональных чисел а.

I – множество иррациональных чисел.

R – множество действительных чисел.

K – множество комплексных чисел.


Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.

А  В – А подмножество В (нестрогое включение)


Множества А и В равны, если их элементы совпадают.


A = B


Если А  В и А  В то А  В (строгое включение).


Множества бывают конечные и бесконечные.


|М| - мощность множества (число его элементов).


Конечное множество имеет конечное количество элементов.


Пустое множество не содержит элементов: M = .


Пример: пустое множество:


1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = .

2) множество , сумма углов которого  1800 пустое: M = .


Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.


Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …


Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.


Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.


Множество можно задать:

Списком элементов {a,b,c,d,e};

Интервалом 1 отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули

Пр. отношнний

 рефлексивное

< антирефлексивное

2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы

сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.

Пр. Если а  b и b  a ==> a=b

Если дано  a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E


5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,

антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,

если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пр. а) отношение  u  для чисел отношение нестрогого

б) отношение < u > для чисел отношение строгого


Лекция: Элементы общей алгебры

Р. Операции на множествах


Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций  = {1,…, m}, т.е. система А = {М1;1,…, m} называется алгеброй.  - сигнатура.


Если M1M и если значения ( M1), т.е. замкнуто ==> A1=1;1,…, m} подалгебра A.

Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и

поэтому тип этой алгебры (2;2)

B=(Б;;) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)

Р. Свойства бинарных алгебраических операций

запись ab.

1. (ab)c=a(bc) – ассоциативная операция

Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно

2. ab = ba – коммутативная операция

Пр. +,x – коммутат.

–; : – некоммут.

умножение мат AB  BA – некоммутативно.

3. a(bc) = (ab) (ac) –дистрибутивность слева

(ab)c) = (aс) (bc) –дистрибутивность справа.

Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа

но не abc  abac


Р. Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; I) и B=(M; I) – одинакового типа.

Пусть отображение Г:KM при условии Г(I)=I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции Ib А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение Iв В.

Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.

Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1.

Мощности изоморфных алгебр равны.

Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные ал


Информация о работе «Конспект по дискретной математики»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 6003
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 1

Похожие работы

Скачать
14778
4
22

... которой были разработаны в последней четверти 19 века Георгом Кантором. Цель контрольной работы – ознакомится с основными понятиями и методами решения по дискретной математике, уметь применить полученные знания при решении практического задания. Задание 1 Представить с помощью кругов Эйлера множественное выражение . Используя законы и свойства алгебры множеств, упростить заданное ...

Скачать
22461
13
5

глядит следующим образом: ( ( A – F) ( B A ) ) Ç ( E  A ÇB ) ) Минимизация проводится с использованием восемнадцати законов. (см. литературы 2) 1)          (( A – F) ( B A )) = (( A F) &# ...

Скачать
12990
1
3

... чисел . Обратным ему будет отображение . Для таких отображений справедливо следующее тождество: 9.   КОМПОЗИЦИЯ , то их композицией (произведением) называют , причем, если осуществляется композиция, то . В математике такое отображение называют сложной функцией, y – промежуточный аргумент. Для композиции справедливо следующие отображения: -     коммутативное - -     ассоциативное - ...

Скачать
158303
36
0

... -педагогическая или научно-техническая проблема, являющаяся новым научным вкладом в теорию определенной области знаний (педагогику, технику и другие). 4.   ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ БАКАЛАВРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРОФИЛЬ ИНФОРМАТИКА   4.1. Положение о выпускной квалификационной работе бакалавра физико-математического образования: ...

0 комментариев


Наверх