Координаты и компоненты в-ра

17.   Координаты и компоненты в-ра

Обозначаем в прямоугольной декартовой системе координат положительные направления осей OX,OY,OZ единичными в-рами : i, j, k, попарно ортогональными и равными единице.

Найдутся числа x,y,z, для которых:

а = xi+yj+zk (2) Эта ф-ла наз. разложением в-ра по орто-базису

Эти в-ры называются ортонормированным базисом. Для каждого в-ра а разложение по орто-базису единственно, т. е. коэффициенты x,y,z в разложении в-ра а по векторам i,j,k определены однозначно. Эти коэффициенты наз координатами в-ра а, они совпадают с координатами z,y,x т. А

a={x,y,z} это означает, что в-р однозначно задается упорядоченной тройкой своих коэффициентов

В-ры xi, yj, zk, сумма которых = а, называются компонентами в-ры а. Два в-ра а и в равны тогда и только тогда, когда равны все их компоненты.

Радиус-вектором в т. М(x,y,z) называется вектор r=xi+yj+zk, идущий из начала коорд т. О в т. М

Линейные операции над в-рами в координатах.

Имеем 2 в-ра а={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}, таких, что а=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+xz2k

сумма будет:

a+b=(x1+x2)I+(y1+y2)j+(z1+z2)k

a+b={x1+x2, y1+y2, z1+z2}

при сложении в-ров их координаты попарно складываются. Для вычитания так же.

С×а={Cx1,Cy1,Cz1}

при умножении на число, все его координаты умножаются на это число.

В-ры а и в коллинеарны тогла и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

18.   Проекция в-ра на ось

Прямая l, с заданным на ней направлением называется осью.

Величиной направленного отрезка Ав на оси l наз. число, обозначаемое: (АВ) и равное длине отрезка АВ, взятом со знаком +, если напр АВ совп с напр. прямой и со знаком – если не совп.

Проекцией в-ра АВ на ось l наз величина, направленного отрезка СД, построенного опусканием перпендикуляров из в-ра АВ на ось l, обозн: Pr_lAB=(СД)

Свойства проекции:

1 Проекция в-ра АВ на какую-либо ось l = произведению длины в-ра на косинус угла между осью и этим в-ром.

Pr_lAB=|AB|×cosa

2 Проекция на ось l в-ра С×а =С× Pr_lа, С- произв. число.

3 Проекция суммы в-ров на какую либо ось = сумме проекции в-ров на эту же ось

19.   Скалярное пр-е в-ра

20.   Векторное пр-е в-ра

21.   Смешанное пр-е в-ров

22.   Деление отрезка в данном отношении

т М ¹ В делит отрезок [АВ] в отношении l, если АМ = l× АВ. Т. М расположена на Ав при этом, если

1 М внутренняя точка АВ, то l >0 (случайц внутреннего деления)

2 М=А, l = 0

3 М лежит вне Ав, l <0 (случай внешнего деления)

Других вариантов расположения т. М быть не может, и ни водном из вариантов l ¹ -1

Если А(r1), B(r2), M(r) – точки пространства и М – делит АВ в отн l, тогда:

это соотношение в координатной форме имеет вид: для А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) и M(x,y,z)

Если М – середина АВ, то l =1Коорд x,y,z середины отрезка АВ выглядят так:

Если т А В принадлежат плоскости ОХУ, то аппликата т А и В и М = 0 и задачу решают первые 2 ф-лы ,а если А и В М лежат на плоскости ОХ, тор первой ф-лой.

23.  Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой

Если взять на плоскости фиксированную точку О и какую-либо прямую L, то положение этой прямой относительно плоскости будет определено если задать расстояние от нее до т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра из т. О на эту прямую; и единичный вектор n0=1 – перпендикулярный прямой L и направленный из начальной т. О к этой прямой.

Когда текущая т. М движется по прямой L, радиус вектор-r меняется так, что проекция на направление n0 будет постоянной и равной р:

это соотношение выполняется для каждой точки прямой L и нарушается когда т. М лежит вне ее.

Заметив, что: это можно записать так:

 (2) полученное ур-е наз. нормальным (нормированным) уравнением прямой в векторной форме. Радиус в-р r – произвольной точки прямой наз. текущим радиус в-ром прямой.

Выбрав на плоскости Декартову систему координат и поместив ее начало в т. О, в-ры r, n0 можно записать так:

n0={cosj, sinj}; r={x,y}

уравнение (2) примет вид:

 (3) это нормальное уравнение прямой в координатной форме, относительно прямых х и у; оно явл ур-ем 1 степени, тем самым в Декартовой прямоугольной системе всякое положение прямой определяется ур-ем 1 степени относительно переменных х и у верно и обратное.

Уравнение Ax+By+C=0 (4) называется общим уравнением прямой А²+В² ¹ 0

если домножить его на постоянный множитель m, положа:

m×А= cosj, m×В= sinj, m×С = -р, где:

называется нормирующим множителем.

И уравнение получается нормальным .Общее уравнение (4) определяет прямую как множество точек М плоскости декартовы координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Нормальный в-р прямой - всякий ненулевой (не обязательно- единичный) в-р перпендикулярный этой прямой. Вектор n = {A,B} будет нормальным вектором прямой, заданной ур-ем (4), таким оборазом коэффициенты А и В при текущих координатах х и у являются координатами нормального в-ра этой прямой. Все отсальный нормальные в-ры прямой можно получить умножая в-р n на произвольное ¹ 0 число.

24.  Уравнение прямой на плоскости , проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.

Для того, чтобы найти ур-е прЯмой L, проходящей через т. М0, заданную радиус-вектором r0={x0,y0}, перпендикулярную вектору n={A,B}, проведем радиус-вектор r={x,y} в произвольной т. М этой прямой

в-р М0М = r-r0 лежит на прямой L, а значит перпендикулярен в-ру n, поэтому их скалярное пр-е = 0

(r-r0)× n = 0 (8) равенство справедливо для всех т. М принадлежащих прямой и нарушается, если точка на прямой не лежит. Ур-е (8) явл в-рным уравнением исходной прямой выражая это произв, через коорд в-ров получим ур-е прямой в коорд форме:

A(x-x0)+B(y-y0)=0 (9)

25.  Исследование уравнения прямой неполные ур-я прямой..

Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С ур-я Ах+Ву+С=0 равен 0, ур-е наз. неполным. По виду уравнения прямой можно судить о ее положении на плоксоти ОХУ. Возможны случаи:

1 С=0 L: Ax+By=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая проходит через начало координат

2 А=0 L: Ву+С=0 - нормальный в-р n={0,B} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что прямая параллельна ось ОХ

3 В = 0 L: Ay+C=0 0 - номральный в-р n={А,0} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что прямая параллельна ось ОУ

4 А=0, С=0 L: By=0Ûy=0ÛL=OX

5 B=0, C=0 L: Ax=0Ûx=0ÛL=OY

6 A ¹ 0, В ¹ 0, С ¹ 0 L; - не проходит через начало координат и пересекает обе оси.

26.   Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если общее уравнение прямой, при В ¹ 0 переписать в виде:

и приравняв:

 и получим ур-е с угловым коэффициентом

у=кх+b (10), где число к = tga, a - величина угла наклона прямой к оси ОХ, угол, отсчитываемый в направлении противоположном движению часовой стрелки от положительного направления оси ОХ до данной прямой.

В случае L||ОХ, или L=OX, a=0

В случае L||ОY, или L=OY, a=П/2 и угловой коэффициент не существует.