Простую аналогию, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках;

1.    Простую аналогию, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках;

2.    Распространенную аналогию, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.

В свою очередь, простая и распространенная аналогия может быть:

а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости;

б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости.

Аналогия является, пожалуй одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые могут быть затем подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями.

Таким образом, имеет смысл говорить о “полезной” и о “вредной” аналогии. Примером “полезной аналогии” является, в частности, мысленный перенос многих понятий и суждений, относящихся к планиметрии, в геометрию трехмерного пространства. Например: “Прямоугольник аналогичен прямоугольному параллелепипеду. В самом деле, отношения между сторонами прямоугольника сходны с отношениями между гранями параллелепипеда:

Каждая сторона прямоугольника параллельна и равна одной другой стороне и перпендикулярна остальным.

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда параллельна и равна одной другой грани и перпендикулярна остальным”

Заметим, что не менее явная аналогия существует и между площадью прямоугольника и объемом прямоугольного параллелепипеда. Причем эта аналогия проявляется весьма широко, начиная от сходства формул S = a * b и V = a * b * c и кончая сходством в структуре вывода этих формул (распадающегося на случаи, когда измерения названных фигур выражаются натуральными, положительными рациональными и действительными числами).

В качестве примера “вредной аналогии” можно привести перенос известных законов сложения конечных сумм на бесконечные.

Вот к каким результатам можно придти, если, в частности, применить эту аналогию при нахождении суммы ряда

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … :

a)    используя свойство прибавления разности, получим:

S = (1 –1) + (1 – 1)+(1 – 1)+ … = 0 + 0 + 0 … = 0

б) используя свойство вычитания разности, получим:

S = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) = 1 – 0 – 0 – 0 - … = 1

в) используя сочетательное свойство для алгебраической суммы, имеем:

S = 1 – (1 – 1 + 1 - … ), или S = 1 – S, откуда 2S = 1 и S = ½

Понятно, что примененная здесь аналогия является незаконной; слишком глубокое качественное различие между конечным и бесконечным в математике уменьшает число аналогичных свойств, присущих тому и другому.

По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изучаемом учебном материале.

По способам осуществления различают сравнения параллельные, последовательные отсроченные. Параллельные сравнения используются при изложении материала укрупленными блоками, когда одновременно изучаются взаимосвязанные понятия, теоремы, задачи. При последовательном сравнении новый объект сравнивается с ранее изученными. При отсроченном сравнении сравниваемые объекты значительно значительно удалены друг от друга во времени. В установлении аналогий плоских и пространственных фактов имеют место все три типа сравнений.

Укажем схему, по которой следует проводить сравнение понятий.

1.    Выделение признаков понятий.

2.    Установление общих и существенных признаков.

3.    Выбор одного из существенных признаков.

4.    Сопоставление понятий по выбранному основанию.

АНАЛОГИЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

 

В процессе обучения математике учителю следует не только самому пользоваться полезными аналогиями, но и приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии. При этом учащиеся должны понимать, что выводы, полученные по аналогии, требуют обязательного обоснования, так как не исключено то, что они могут оказаться ошибочными. Например, по аналогии с известными признаками делимости на 3 и на 9 можно сформулировать вероятный признак делимости на 27: “ Если сумма цифр числа делится на 27, то и само число делится на 27”. Однако это утверждение неверно и убедиться в этом можно на каком–нибудь конкретном примере (272745).

Приведем еще один пример.

Учитель спрашивает школьника:

-      Как изменится площадь прямоугольника, если его основание увеличить в 2 раза, а боковую сторону уменьшить также в 2 раза?

-      Площадь не изменится.

-      Правильно. А если основание прямоугольника увеличить на 20%, а боковую сторону уменьшить на 20%, изменится ли его площадь?

-      Нет, не изменится.

Последний ответ школьника уже не верен. В самом деле, обозначив основание прямоугольника через а, а боковую сторону через b, имеем: S = a * b .

В соответствии с условием основание измененного прямоугольника а1 = а + 0.2а и боковая сторона b1 = b – 0.2b. Тогда S1 = a1 * b1 = a(1 + 0.2) * b(1 – 0.2) = ab – 0.04ab.

Таким образом, площадь прямоугольника уменьшится в этом случае на 4%.

Однако следует помнить, что широкое применение аналогии в процессе обучения математике является одним из эффективных приемов, способных пробудить у учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности, который называют исследовательским. Кроме того, широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному (что, кстати говоря, способствует также актуализации знаний).

Поэтому полезны и специально подобранные упражнения в применении метода аналогии, такие, например, как: 1) верно ли утверждение: ”Если в треугольнике все углы конгруэнтны, то и стороны конгруэнтны”? (сформулируйте аналогичное предположение для шестиугольника. Верно ли оно?) или 2) справедливо ли утверждение: “Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри (или на стороне) правильного треугольника до его сторон, есть величина постоянная “? Сформулируйте аналогичное предложение для какого либо многоугольника. Проверьте, будет ли оно истинным.

Применение аналогии распадается на следующие действия: построение аналогов различных заданных объектов и отношений; нахождение соответствующих элементов в аналогичных предложениях; составление предложений или задач, аналогичным данным; проведение рассуждений по аналогии.

Уже в младших классах второй ступени целесообразно подчеркивать аналогию между некоторыми плоскими и пространственными фигурами. Например, между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом, между квадратом и кубом. Аналогия между квадратом и кубом состоит в том, что у квадрата его измерения равны и у куба его измерения равны. Учащиеся могут и сами догадаться, что грани куба – равные квадраты, все стороны квадрата – равные отрезки.

При знакомстве с понятиями площадь и объем можно установить аналогию между единицами длины и единицами площади, между единицами объема и единицами площади. Одновременно следует обратить внимание на сходство в формулировках определений понятий. Например, повторив с учащимися понятие квадратный сантиметр (квадратный сантиметр – это площадь квадрата со стороной 1 см), можно попросить самостоятельно дать определение понятию кубический сантиметр.

Учащиеся иногда затрудняются быстро и правильно ответить на вопросы типа: “ Сколько квадратных сантиметров в 1 дм²? Сколько кубических сантиметров в 1 дм³?” Устранению таких трудностей способствует иллюстрация сходства между операциями перехода от линейной единицы измерения к квадратной или кубической. В обоих случаях вычисляется произведение одинаковых множителей, причем число множителей в произведении равно показателю при единице измерения: 1 дм² = 10 * 10 см², 1 дм³ = 10 * 10 * 10 см³.

Формировать умение составлять предложение, аналогичное данному, можно при изучении признаков делимости. Рассмотрев с учащимися признак делимости, например, на 3, следует предложить им самим сформулировать признак делимости на 9. Ниже приведены те предложения, которые давал учитель ((1) – (4)), и те, что формулировали учащиеся по аналогии ((1*) – (4*)).

(1)  На 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

(2)  На 5 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра 0 или 5.

(3)  Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

(4)  На 4 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

(1*) На 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

(2*) На 25 делятся те и только те числа, в записи которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25.

(3*) Число делится на 8, если оно делится на 2 и 4.

(4*) На 8 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Следует провести сравнение предложений. Одновременно необходимо подчеркнуть, что если данные высказывания (1) – (4) истинны, то необязательно окажутся истинными высказывания, полученные из данных по аналогии. Учащиеся должны знать, что для установления ложности какого – либо утверждения достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий его. Так, высказывания (3*) и (4*) являются ложными: 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8; 100 и 164 не делятся на 8. Теперь важно показать, что 4 можно представить в виде произведения двух одинаковых множителей (4 = 2 * 2), а 8 – в виде произведения трех одинаковых множителей (8 = 2 * 2 * 2). Установив такое различие, учащиеся могут заметить, что в утверждении (4) рассматриваются такие числа, у которых количество последних цифр – нулей равно числу простых множителей в разложении числа 4. Это наблюдение поможет сформулировать истинное утверждение вместо (4*): на 8 делятся те числа, у которых три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

При изучении темы «Сложение десятичных дробей» метод аналогии можно использовать для того, чтобы подвести учащихся к формулировке правила сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение натуральных чисел и сложение десятичных дробей (так, как это показано в табл. 1).

Таблица 1

Натуральные числа 949 + 835 Подписываем слагаемые одно под слагаемых находились друг под другом. 949 + 835 1784 Выполняем сложение поразрядно,

Десятичные дроби 95.37 + 101.4 другим так, чтобы одинаковые разряды 95.35 + 101.40 196.75 Так как число 101.4 не имеет сотых долей, то вместо сотых ставим 0. начиная с единиц низшего разряда.

 

Мы уже говорили о том, что умозаключения по аналогии могут приводить как к верным заключениям, так и к ошибочным; это часто является источником неверных действий учащихся. Упрочнению их способствует обычно и формальное усвоение материала. Особенно много таких ошибок учащиеся допускают в курсе алгебры. Поэтому полезно сравнивать верные соотношения с неверными, например:

5 * 3 = 3 * 5, но 5³≠ 3⁵; √5а² = √5 * √а², но √5 + а² ≠ √5 + √а²;

а * с ./ в * с = а / в, но а + с / в + с ≠ а / в (с ≠ 0).

Доказательство того, что равенство нарушается, проще всего провести, подставив вместо букв числа и проведя нужные вычисления.

Богатым материалом для обучения приему аналогии располагает геометрия. В начале изучения курса геометрии основное внимание следует уделить выделению соответствующих элементов из аналогичных задач и теорем. Например, рассмотрим две пары задач из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6 –10» (М., 1985).

Докажите, что у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны (§3, №20 (1)). Докажите равенство треугольника по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (§3, №38).

Докажите, что у равнобедренного треугольника медианы, проведенные из вершин при основании, равны (§3, №20 (2)). Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника (§3, №40).

Для биссектрисы в задаче №20(1) соответственным элементам в задаче №20(2) является медиана. В задачах второй пары соответственными элементами оказались:

Две стороны, исходящие из одной вершины (№38), - два угла, на которые медиана разбивает угол треугольника (№40). Указанные задачи полезно решить непосредственно друг за другом, оформляя решение «параллельно», т. е. с левой стороны одно решение, с правой – другое. Разобрав решения, следует подчеркнуть, что каждый шаг одного из них можно перенести в другое, применив его к соответственным элементам.

Умение применять аналогию нужно поддерживать от класса к классу, пользуясь любыми возможностями. Так, при решении задачи об углах при основании равнобедренной трапеции следует вскрыть ее свойство с теоремой об углах при основании равнобедренного треугольника. Полезно записать «параллельно» оба доказательства так, как это показано в табл. 2.

Таблица 2

Теорема 3 из §3 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.   Доказательство: 1)     Пусть АВС – равнобедренный треугольник (АС=СВ). Из вершины С проведем высоту СД. 2)     ∆АСД=∆ВСД по катету и гипотенузе (СД – общая, АС=СВ по условию). Отсюда ÐА=ÐВ.

Задача 53 из § 6 Доказать, что углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны. Доказательство: 1)    Пусть АВСД – равнобокая трапеция (АД=СВ). Из вершин Д и С проведем высоты ДЕ и СF. 2)    ∆АДЕ=∆ВСF по катету и гипотенузе (ДЕ=СF, так как АВ║СД; АД=СВ по условию). Отсюда ÐА=ÐВ и ÐАДЕ=ÐВСF; ÐАДС=ÐАДЕ + 90, отсюда следует, что Ð0ДСВ=ÐВСF + 90 ÐАДС=ÐДСВ

Задачи, аналогичные данным, учащиеся могут составлять самостоятельно и решать их.

Приведем краткий список аналогичных задач на построение из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6 – 10» (1985)

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне (§5,№ 27). Постройте параллелограмм по стороне и двум диагоналям (§6, №19(2)). Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (§5, № 41).

Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону (§5, №31). Постройте трапецию по основаниям и диагоналям (§6,№ 66). Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон (§5, № 42).

В табл. 3 даны решения двух задач на построение, на которых удобно демонстрировать аналогию.

Таблица 3

Постройте трапецию по диагона- Постройте параллелограмм по диа-

лям , углу между ними и одному из гоналям и углу между ними (§6, № 20(2)).

оснований.

А н а л и з

Предположим, что трапеция АВСД Предположим, что параллелограмм

построена (см. рисунок). АВСД построен (см. рисунок).

Р Д С Д С

 А В В₁ А В В₁

Попробуем построить сначала треугольник,

используя данные нашей задачи.

Через одну из вершин (С)

Трапеции Параллелограмма

проведем прямую, параллельную диагонали ВД, до пересечения с продолжением основания АВ. Получим треугольник АВ₁С, который можно построить по двум сторонам и углу между ними (АС – дано, С В₁ = ВД, так как В В₁СД параллелограмм, Ð АСВ₁ = Ð АОВ как соответственные углы при параллельных прямых ВД и СВ₁).

П о с т р о е н и е

Строим треугольник АС В₁ по двум сторонам и углу между ними.

От точки А на стороне А В₁  отло- Из вершины С проведем медиану СВ.

жим отрезок, равный АВ. Через точ- через точки В и С проведем прямые,

ку С проведем прямую СР, парал- параллельные соответственно В₁С и

лельную основанию АВ; затем через АВ. Точка Д пересечения этих прямых

точку В проведем прямую, параллель- будет четвертой вершиной искомого

ную В₁С, до пересечения с прямой СР. параллелограмма АВСД.

Точка Д пересечения этих прямых

будет четвертой вершиной искомой

трапеции АВСД.

Мы описали различные подходы к обучению метода аналогии школьников 11-13 лет. По мере взросления учащихся им все чаще будут встречаться возможности для применения аналогии. Она может использоваться при формировании многих понятий стереометрии, при доказательстве теорем и решении задач. Однако учащиеся реализуют эти возможности лишь после специального обучения.

ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ РОЛЬ АНАЛОГИИ В ПЛАНИМЕТРИИ И СТЕРЕОМЕТРИИ

В действующем школьном курсе геометрии абсолютное большинство стереометрических фактов излагается без установления внутрипредметных связей с аналогичными планиметрическими фактами. Примером тому может служить изолированное изложение таких тем, как «Треугольник и его свойства» и «Тетраэдр и его свойства»; «Окружность, круг и его свойства» и «Сфера, шар и их свойства» и т. д. Все это есть следствие линейного построения курса геометрии. Целесообразно же на основе линейно – концентрической организации курса увязать эти плоскостные и пространственные темы. Развернем отмеченное положение несколько шире вначале в теоретическом, а затем и в практическом аспекте.

Различные формы уровневой и профильной дифференциации могут быть реализованы на практике в полной мере лишь в том случае, если будут подготовлены соответствующие учебники, в том числе и по геометрии. Эти учебники должны не только быть разными по содержанию и по форме изложения, но и иметь существенно различную логико-структурную организацию. Сейчас школьные учебники геометрии ориентированы в основном на аксиоматическое и силлогистическое изложение. Чрезмерное же акцентирование в обучении дедуктивного характера математики создает серьезную опасность для математического образования. В обучении математике в целом, равно как и в обучении геометрии, необходимо сочетание логики и интуиции, дедукции и индукции, конкретизации и обобщения, анализа и синтеза.

Целесообразна трансформация линейного построения содержания школьного курса геометрии в линейно – концентрическое, что даст возможность проводить глубокие сравнения, широкое обобщение, выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций уже изученный ранее изученный материал. Большую роль при этом будут играть аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие приобщить учащихся к исследовательской деятельности.

Курс школьной геометрии должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков. Реализация идей уровневой и профильной дифференциации предполагает одновременное существование как учебников геометрии, построенных на глобальной аксиоматической организации теории, так и учебников, построенных на идеях локальной аксиоматизации и локальной дедукции. Здесь налицо создание таких учебников геометрии, в котором бы разумнее дозировались логический и интуитивный компоненты; школьный курс геометрии есть «химическое соединение интуиции и логики».

Глобальная аксиоматизация должна завершать, а не начинать длительный процесс развития теории; локальная индукция позволяет сделать главным в обучении геометрии не развитие теории из готовой аксиоматики, а процесс создания аксиоматики. Такой подход в большей степени, чем традиционный, обеспечивает взаимодействие наглядно – образного и словесно – логического мышления.

На примерах покажем, что многие пространственные факты являются обобщениями плоскостных аналогов. Приведенный ниже материал может служить хорошим подспорьем в организации исследовательской работы учащихся.

П р и м е р 1. Плоскостная изопериметрическая теорема – пространственная изопериметрическая теорема.

Часто можно слышать расхожую фразу: «Круг и шар – наиболее совершенные фигуры». Какой смысл вкладывается в это высказывание? Рассуждения, приведенные ниже, прольют свет на поставленный вопрос.

В планиметрии известна такая теорема: «Из всех изопериметрических плоских фигур наибольшую площадь имеет круг». Другими словами эту теорему можно сформулировать иначе: «Из всех плоских фигур равного периметра наибольшую площадь имеет круг».

Пусть S – площадь фигуры, L – длина периметра данной фигуры. Допустим, что данная фигура и круг с радиусом r являются изопериметрическими: L = 2pr, тогда S ≤ pr² . Подставляя вместо r его выражение через L (r = L/2p), преобразуем неравенство: 4pS/L² ≤ 1.

Частное 4pS/L² зависит только от формы фигуры и не зависит от его размеров. Действительно, если мы, не изменяя формы, увеличим линейные размеры фигуры в отношении ½, то периметр станет равен 2L, а площадь - 4S, но частное S/L² , как и частное 4pS/L² , остается неизменным. Эта закономерность справедлива при увеличении линейных размеров в любом отношении.

Плоскостная изопериметрическая теорема может быть сформулирована и в таком виде: «Из всех плоских фигур равной площади наименьший периметр имеет круг».

Аналогом, в стереометрии этой последней формулировке теоремы будет такая теорема: «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар».

Изопериметрическое неравенство для объемных тел будет записано в следующем виде: 36pV² / S³ ≤ 1, где V – объем тела, S – площадь полной поверхности тела.

Заметим, что эта стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет ответить на вопрос: «Почему заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы?»

Читателю будет небезынтересно узнать своеобразную трактовку изопериметрической теоремы, которую приводит Д. Пойа в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» (М.: Наука, 1975. С. 187): «К изопериметрической теореме нас могут привести совсем примитивные рассмотрения. Мы можем научиться ей у кота. Я думаю, вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность, делая себя возможно более шарообразным. Судя по всему, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой».

Изложенная выше стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет по новому, совсем с других позиций изучать тему «Тела вращения».

Известная формула для вычисления комфортности жилища: K = 36pV² / S³ , где K – изопериметрический коэффициент комфортности, V – объем жилища, S – полная поверхность жилища, включая и пол. Учащимся можно предложить подсчитать коэффициент комфортности восточносибирского чума (рис. 1), яранги континентальных эскимосов Аляски (рис. 2), жилища береговых чукчей (рис. 3), жилища аборигенов Северной Австралии (рис. 4), жилища народов кирди в Камеруне (рис. 5), нашего обычного жилища в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 6).

Изопериметрический коэффициент K всегда меньше единице или равен ей. Единственное тело, имеющее коэффициент, равный единице, - это шар. Не потому ли неопознанные летающие объекты шарообразны (как утверждают те, кто их видел)?

П р и м е р 2. Принцип Кавальери для плоских фигур – принцип Кавальери для пространственных фигур.

Итальянский математик Бонавертура Кавальери (1598 – 1647) в своем основном труде «Геометрия» (1635) развил новый метод определения площадей и объемов – так называемый метод неделимых. Неделимыми он называл параллельные между собой хорды плоской фигуры или параллельные плоскости тела. Б. Кавальери доказал теорему, согласно которой площади двух подобных фигур относятся, как квадраты, а объемы – как кубы соответствующих неделимых. Эта теорема вошла в математику под названием принципа Кавальери. Приведем его формулировку.

Д л я п л о с к о с т и. Если две фигуры могут быть перемещены в такое положение, что всякая прямая, параллельная какой-нибудь данной прямой и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними равные отрезки, то такие фигуры равновелики.

Примером могут служить два параллелограмма (рис. 7) с равными основаниями и равными высотами.

Д л я п р о с т р а н с т в а. Если две объемные фигуры могут быть помещены в такое положение, что всякая плоскость, параллельная какой-нибудь заданной плоскости и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними плоские фигуры равной площади, то такие фигуры равновелики.

Примером могут служить две пирамиды с равными основаниями и равными высотами (рис. 8).

П р и м е р 3. Докажем для тетраэдра теорему, аналогичную теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

«Если три грани тетраэдра – прямоугольные треугольники (рис. 9), то S₁²+S₂² + S₃²= S₄² , где S₁, S₂, S₃ – площади граней, составляющих прямой угол, S₄ – площадь четвертой грани, лежащей против прямого трехгранного угла”.

Доказательство. Пусть длины катетов прямоугольных треугольников соответственно равны: у ∆АВД – а и b; у ∆АДС – а и d; у ∆АСВ – b и d, тогда

S₁ = S_АДВ = ½ аb; S₂ = S_АДС = ½ ad;

 S₃ = S_АСВ = ½ bd. (1)

Для того чтобы найти S₄ , найдем гипотенузу ∆АСВ: ВС = Öb² + d². Высота основания, проведенная к гипотенузе ВС, равна

АМ = bd + d/Öb² +d² .

Высоту четвертой грани (∆ДВС) будем искать по теореме Пифагора:

ДМ = Öа² + bd/b² + d² .

Тогда

S₄ = ½/Öb² +d^{2 *}  Öа² + bd/b² + d²  = ½/Öb² +d^{2 *} Ö а² d² + а² b² + b²d² /Öb² +d² = ½ Ö а² d² +а² b² + b²d²;

S₄² = ¼(а² d² + а² b² + b²d²) (2)

Согласно равенствам (1), имеем:

S₁²+S₂² + S₃² =¼ а² d² +¼а² b² +¼ b²d² = ¼(а² d² + а² b² + b²d²).

Так как равые части последнего равенства и равенства (2) равны, то равны и левые части:

S₁²+S₂² + S₃² = S₄².

На случай пространства можно сформулировать и доказать и такую обобщенную теорему Пифагора для проекций: «Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на любые три взаимно перпендикулярные прямые».

П р и м е р 4. Сформулируем для тетраэдра теорему, которая является аналогом такой плоскостной теоремы:

«Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся, как произведения сторон, заключающих равные углы».

Формулировка аналогичной теоремы для пространства:

«Если трехгранных угол одного тетраэдра равен трехгранному углу другого тетраэдра, то объемы этих тетраэдров относятся, как произведения длин ребер этих тетраэдров, выходящих из вершин этих трехгранных углов».

П р и м е р 5. В планиметрии рассматривается такая задача:

«Как изменится площадь треугольника, если его высоту увеличить на m единиц?”

Решим ее. S = ½ ah, где a – основание треугольника, а h – высота треугольника.

 S₁ = ½ a(h + m) = ½ ah + ½ am; S - S₁ = ½ am.

С геометрической точки зрения увеличение площади данного треугольника равно площади треугольника с тем же основанием a и высотой m (рис. 10). Следовательно, площади заштрихованных частей равны между собой.

Аналог этой задачи в стереометрии:

«Дана пирамида. Как изменится ее объем, если высоту увеличить на m единиц?»

Р е ш е н и е. 1

V = 1/3 S_осн * H; V₁ = 1/3 S_осн * (H + m) = 1/3 S_осн  * H + = 1/3 S_осн * m.

Имеем:

V₁ – V= 1/3 S_осн * m,

Т. е. увеличение объема равно объему пирамиды с таким же основанием и высотой, равной m единиц.

Заметим, что аналогичную задачу можно рассмотреть и для конуса.

П р и м е р 6. Рассмотрим планиметрическую задачу:

“Имеются два треугольника с равными основаниями. Постройте треугольник, равновеликий объединению данных треугольников”.

Р е ш е н и е.

S = ½ ah₁ + ½ ah₂ = ½ a(h₁ + h₂),

т. е. искомый треугольник должен иметь такое же основание, что и у исходных треугольников, и его высота должна быть равна сумме высот исходных треугольников.

Этой задаче в стереометрии есть аналог:

«Две пирамиды (конуса) с равными основаниями замените одной пирамидой (конусом), равновеликой их объединению».

Р е ш е н и е.

V = 1/3 S_{осн *} H₁ + 1/3 S_{осн *} H₂ = 1/3 S_{осн *} (H₁ + H₂).

Таким образом, искомая пирамида (конус) должна иметь такое же основание, а ее высота должна быть равна сумме высот исходных пирамид (конусов).

П р и м е р 7. В планиметрии на случай прямоугольного треугольника решается задача:

«Пусть дан прямоугольный треугольник АВС: ÐС = 90°; СА = b, СВ = а, h - высота треугольника, проведенная из вершины С. Доказать равенство

1/h²=1/a²+1/b²».

Это равенство может быть обобщено на случай тетраэдра:

«Если в тетраэдре АВСЕ ребра ЕА, ЕВ, ЕС перпендикулярны между собой и их длины соответственно раны a, b, c и h – высота тетраэдра, проведенная из вершины Е, то имеет место равенство:

1/h²=1/a²+1/b²+1/с²».

П р и м е р 8. В планиметрии рассматривается следующая задача на доказательство:

«Даны две параллельные прямые; на одной из них произвольно взят отрезок АВ, а на другой - точка С. Докажите, что площадь треугольника АВС не зависит от выбора точки С».

Для трехмерного пространства, где аналогом треугольника выступает тетраэдр, эта задача будет формулироваться следующим образом:

Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них произвольно выбран отрезок АВ, на двух прямых – точки С и Д соответственно. Докажите, что объем тетраэдра АВСД не зависит от выбора точек С и Д».

В приведенных примерах параллельно формулировался плоскостной и аналогичный ему пространственный факт. Но, как показывает практика, для развития творческого развития учащихся, для формирования у них исследовательских умений, в частности умения строить гипотезы и выдвигать предположения, значительно полезнее предлагать школьникам самостоятельно формулировать, а затем и решать для плоскостных фактов их пространственные аналоги. Причем должны быть задачи как на прямое действие – переход от плоскости к пространству, так и на обратное действие – переход от пространства к плоскости. Ниже приведены задачи такого типа.