Похідна та її застосування

Зміст

Вступ............................................................................................................................1

Розділ 1. Основні теоретичні відомості.................................................................2

1.1  Походження поняття похідної....................................................................2

1.2Екстремуми функції.....................................................................................5

1.3Зростання та спадання функції...................................................................9

1.4Найбільше та найменше значення функції..............................................11

1.5Означення дотичної, під дотичної, нормалі............................................13

Розділ 2. Застосування похідної............................................................................17

2.1      Правила диференціювання........................................................................17

2.2      Дослідження функції та побудова її графіка...........................................21

2.3      Застосування похідної для розв’язування рівнянь..................................26

2.4      Текстові задачі на екстремум....................................................................28

Висновок....................................................................................................................31

Список використаної літератури.........................................................................32

Вступ

Розділ алгебри та початків аналізу “Похідна та її застосування” займає значне місце у шкільному курсі математики, в першу чергу тому, що має велике прикладне значення.

Програма з математики для загальноосвітньої школи відводить на вивчення теми “Похідна та її застосування” приблизно, 26 годин (загальноосвітньої школи), 46 годин (ліцеї і гімназії з поглибленим вивченням математики).

Основна складність полягає в тому, щоб навчити школярів застосувати похідну для дослідження функцій, розв’язання прикладних задач алгебри та геометрії. Показати алгоритми застосування похідної, що значно полегшує розв’язання багатьох типів задач.

Об’єктом дослідження даної атестаційної курсової роботи є питання: застосування похідної для дослідження функцій на монотонність та екстремум, побудова графіків функцій після їх повного дослідження, знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку, прикладні задачі на знаходження найбільшого та найменшого значення функції, складання рівняння дотичної, нормалі, піддотичної і текстові задачі на екстремум функції.

Робота складається з вступу і двох основних частин: основні теоретичні відомості, де наведено означення похідної, історія виникнення похідної, основні теореми, необхідні та достатні умови зростання (спадання) функції, достатня ознака екстремуму функції, та наведені алгоритми розв’язання конкретного типу задач; другий розділ, який розбито на підрозділи, в якому розглядаються різноманітні приклади, наводиться їх розв’язання з повним поясненням.

Розділ 1

Основні теоретичні відомості

1.1. Походження поняття похідної

  Ряд задач диференціального вирахування був вирішений ще в стародавності.
Основне поняття диференціального вирахування – поняття похідної – виникло в XVII ст. у зв'язку з необхідністю вирішення ряду задач з фізики, механіки і математики, у першу чергу наступних двох: визначення швидкості прямолінійного нерівномірного руху і побудови дотичної до похідної плоскої кривої.
   Перша з цих задач була уперше вирішена Ньютоном. Функцію він називав флюентою, тобто поточною величиною (від латинського fluere - текти), похідну ж - флюксіей (від того ж fluere). Ньютон позначав функції останніми літерами латинського алфавіту u, x, y, z, а їх флюксії, тобто похідні від флюент за часом, - відповідно тими ж літерами з крапкою над ними:
   Для доказу свого правила Ньютон, випливаючи в основному з Ферма, розглядає нескінченно малий приріст часу dt, що він позначав знаком х0, відмінним від нуля. Вираз x0, що позначається нині і називається диференціалом (dx), Ньютон називав моментом.
   Ньютон прийшов до поняття похідної, виходячи з питань механіки. Свої результати в цій області він виклав у трактаті, названому їм «Метод флюксій і нескінченних рядів», що був складений близько 1671 р. Припускають, що Ньютон відкрив свій метод флюксій ще в середині 60-х років XVII в., однак вищезгаданий його трактат був опублікований посмертно лише в 1736 р.

   Математиків XV - XVII ст. довго хвилювало питання про перебування загального методу для побудови дотичної в будь-якій точці кривої. Задача ця була зв'язана також з вивченням рухів тіл і з відшуканням екстремумів найбільших і найменших значень різних функцій.
   Деякі окремі випадки вирішення задач були дані ще в стародавності. Так у «Початках» Евкліда дан спосіб побудови дотичної до окружності, Архімед побудував дотичну до спіралі, що носить його ім'я, Аполлоній - до еліпса, гіперболи і параболи. Однак давньогрецькі вчені не вирішили задачу до кінця, тобто не знайшли загального методу, придатного для побудови дотичної до будь-якої плоскої кривої в похідній її точці.
   Із самого початку XVII в. чимало вчених, у тому числі Торрічеллі, Вивиани, Роберваль, Барроу, намагалися знайти вирішення питання, прибігаючи до кінематичних міркувань. Перший загальний спосіб побудови дотичної до алгебраїчної кривої був викладений у «Геометрії» Декарта. Більш загального і важливим для розвитку диференціального вирахування був метод побудови дотичних Ферма.
   Ґрунтуючись на результатах Ферма і деяких інших висновках, Лейбниц значно повніше своїх попередників вирішив задачу, про яку йде мова, створивши відповідний алгоритм. У нього задача знаходження tgj , тобто кутового коефіцієнта дотичної в точці М, до плоскої кривої, обумовленою функцією , зводиться до знаходженню похідної функції y по незалежній змінній x при даному її значенні (або в даній точці) x = x₁.
   Можна навести й інші приклади, що показують, яку велику роль грає поняття похідної в науці і техніці: прискорення – є похідна від швидкості за часом, теплоємність тіла – є похідна від кількості тепла по температурі, швидкість радіоактивного розпаду – є похідна від маси радіоактивної речовини за часом і т.п. Вивчення властивостей і способів обчислення похідних і їхнє застосування до дослідження функцій складає головний предмет диференціального вирахування. 
   Перша друкована праця по диференціальному вирахуванню була опублікована Лейбницем у 1684 р. Це були мемуари, що з'явилися в 1682 р. в математичному журналі «Acta Eruditorum» (прототип «Навчальних записок») і озаглавлений «Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є перешкодою дробові й ірраціональні кількості, і особливий для цього рід вирахування». У цій статті, що складається усього лише з 6 сторінок, міститься виклад суті методу вирахування нескінченно малих, зокрема викладаються основні правила диференціювання. Отже, якщо в «Методі флюксій» як первісне поняття фігурує швидкість, то в «Новому методі» Лейбница таким поняттям є дотична .

   Збільшення абсциси Лейбниц позначав через dx, що відповідає збільшенню ординати – через dy. Нині уживаний символ похідної

бере свій початок від Лейбница. У Лейбница основним поняттям була не похідна, для якої він навіть спеціального терміна не мав, а диференціал.
   У середині XVIII ст. Ейлер став користуватися грецькою літерою ∆ для позначення приростів змінних величин, тобто ∆y = y₂ – y₁, ∆х = x₂ – x₁ і т.д. Це позначення збереглося понині. Ми пишемо:

.

Позначення і для похідної ввів Лагранж.
   Сам термін «похідна» уперше зустрічається у француза Луа Арбогаста в його книзі «Обчислення похідних», опублікованої в Парижі в 1800 р. Цим терміном відразу ж став користуватися і Лагранж. Термін цей швидко ввійшов у загальний ужиток, а Коші, використовуючи початкову літеру цього терміна, став позначати похідну символом Dy або Df(x).
   Термінологія Ньютона (флюенти, флюксії) і його символи похідної утратили своє значення. Лише у фізиці і механіці в деяких випадках позначають крапками над літерами похідні за часом.

   Перший друкований курс диференціального вирахування вийшов у світ в Парижі в 1696 р. під заголовком «Аналіз нескінченно малих». Його автор Г. Ф. Де Лопиталь за основу цієї книги взяв рукопис Йоганна Бернуллі, одного з найближчих співробітників Лейбница. Ось чому цей курс варто розглядати як типовий добуток школи Лейбница.
   У першій же главі своєї книги Лопиталь вимагає, «щоб величина, збільшена або зменшена на іншу нескінченно малу величину, могла бути розглянута як незмінна». Отут нескінченно мала розглядається як нуль, її можна відкидати. Це один з фундаментальних принципів вирахування нескінченно малих Лейбница, нині відкинутий наукою. Цим принципом користувався Лопиталь і при установленні формул диференціювання.
   У перший період розробки математичного аналізу основоположники цієї теорії не могли досить чітко і ясно обґрунтувати принципи цієї теорії і тому шукали підтвердження правильності теорії в узгодженості математичних висновків з досвідом, із практикою при вирішенні задач механіки й астрономії. Однак проста перевірка гіпотези на практиці не дає абсолютної впевненості в її непогрішності. Досить одного факту, що не погодиться з даною гіпотезою, як вона буде спростована. Ось чому на наступних етапах перед математиками виникла проблема суворого математичного обґрунтування теорії математичного аналізу.

1.2. Екстремуми функції

Точка х₀ називається точкою локального максимуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність

.

Точка х₀ називається точкою локального мінімуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність

.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.

Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:

Теорема 1.Якщо функція  має в точці х₀ локальний екстремум, то або , або не існує.

Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.

Точки, в яких функція  визначена та неперервна, і в цих точках  або не існує, називаються критичними для функції.

Проте не в кожній критичній точці функція  має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх дають такі теореми:

Теорема 2.Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х₀, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х₀).

Якщо для х<х₀, а для х₀<x , то для х=х₀ функція  має максимум.

Якщо для х<х₀  , а для х₀<x  , то для х=х₀ функція  має мінімум.

Теорема 3.Нехай функція  два рази диференційована в околі точки х₀ і . Тоді в точці х=х₀ функція має локальний максимум, якщо , і локальний мінімум, якщо .

Якщо ж , то точка х=х₀ може й не бути точкою екстремуму.

Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:

1.   знаходять критичні точки функції  , тобто точки , в яких , або  не існує;

2.   знаходять другу похідну і обчислюють значення другої похідної в цих точках.

Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.

Якщо  в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.

Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:

.

Знайдемо нулі похідної:

х²+х-2=0, х₁=-2 х₂=1.

Отже, функція f має дві критичні точки х₁=-2,х₂=1.

Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х², то на інтервалах  , а на інтервалі (-2;1) .

Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.

Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.

.

При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f має локальний мінімум.

.

Приклад 2.Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання. Функція  визначена. Знайдемо її похідну:

.

Критична точка х=9. при переході через цю точку похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, в цій точці функція f має локальний мінімум:

.

Крім того, похідна дорівнює нулю в точці х=0. оскільки справа від цієї точки(до х<6) функція не визначена, то в точці х=0 функція набуває найменшого значення .

Приклад 3.Дослідити на екстремум функцію

.

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Її похідна

дорівнює нулю при .

Ця критична точка розбиває числову пряму на два інтервали знакосталості похідної  :

.

Оскільки на інтервалі , то функція f в точці  має локальний максимум.

Його значення