Операции на множестве объектов предметной области. Их семантика

5. Операции на множестве объектов предметной области. Их семантика.

Будем рассматривать две бинарные операции: наложение (+) и склеивание (*); унарная операция: инверсия (()^-1) и нульарные: операции слабой (0) и сильной (1) единицы.

 

Операция слабая единица - 0.

Данная операция - константа 0 представляет - собой картеж вида (0,0,0,0)

Операция сильная единица - 1.

Данная операция - константа 1_i - представляет собой один из картежей:

-   (1, 0, -1, 0), при i =1;

-   (0, 1, 0, -1) , при i =2;

-   (-1, 0, 1, 0) , при i =3;

-   (0, -1, 0, 1) , при i =4;

где i определяет сторону с элементом «выпуклость».

Операция наложения.

Данная операция накладывает один пазл на другой, в результате чего получается новый пазл. Новый пазл образуется по следующему правилу:

Правило боковых граней:

если на накладываемой стороне 1^го пазла находится выпуклость, а у 2^го пазла на соответствующей стороне - вогнутость, то результатом будет пустая сторона

если на сторонах обоих пазлов находятся выпуклость (или вогнутость), то в результате получится сторона с выпуклостью (вогнутостью)

если сторона одного из пазлов является пустой, то результирующая сторона будет иметь тот же элемент, что и сторона второго пазла

вышесказанное можно отобразить формулами:

C = A + B:

c’_i= a_i + b_i

c_i =

где i =

Операция наложения справедлива для любых пазлов.

Операция имеет вид:

С = А + В.

Примеры.

1) А = (0, 0, -1, 1),

В = (-1, 1, -1, -1).

A + B = C = (-1, 1, -1, 0), т.е.

Операция склеивания.

Данная операция склеивает два пазла для получения нового.

Операция выполняется не для всех пазлов, а только для тех, которые удовлетворяют условиям операции:

-   склеиваемые стороны на должны бать пустыми и должны иметь противоположные элементы (т.е., например, 1^й пазл – вогнутость Þ 2^й пазл - выпуклость);

-   разность между номерами склеиваемых сторон должна быть по модулю равна 2 (т.е., например, 1^й пазл – 2 Þ 2^й пазл – 4: |2 - 4| = 2 );

Новый пазл получается следующим образом:

-   звездочкой (*) указываются номера склеиваемых сторон;

-   элементы сторон, противоположных склеиваемым сторонам, не изменяются;

-   элементы двух других сторон образуются по правилу боковых сторон ;

Операция имеет вид: С = А₁ * В₃ = (а₁*, а₂, а₃, а₄) * (b₁, b₂, b₃*, b₄)

Пример.

А = (0, 1, -1, 0),

В = (-1, 1, 0, -1).

А₂*В₄ = (0, 1*, -1, 0) * (-1, 1, 0, -1*) = (-1, 1, -1,0), т.е.

Операция инверсия.

Данная операция инвертирует пазл, т. е. заменяет выпуклости вогнутостями и наоборот, в результате чего получается новый пазл. Операция имеет вид: С = А^-1.

Пример.

А = (0, 1, -1, 0)

А^-1 = С = (0, -1, 1, 0), т. е.

6. Алгебраическая система.

Определение 7. Система трех множеств Œ = <А, Ω, R> называется алгебраической системой, где А – множество однотипных элементов, называемое носителем алгебры или базовым множеством, Ω – множество операций с областью определения и областью значений в множестве А, R – множество отношений на элементах множества А.

Множество А представляет собой множество всех пазлов, представленных в виде картежей, описанных выше.

Сигнатура алгебры Ω = { + , * , ^-1() , 0 , 1 }.

R = {<, <’, <”, >, >’, >”, =, =’, =”}

Согласно определению операций, мы получим пазл в виде картежа, описанного выше, значит мы получим элемент базового множества, что говорит о замкнутости операций.

7. Свойства операций.

Свойство единицы:

А + А^-1 = А^-1 +А = 1 – сильная единица:

А_i * 0 = 0 * A_i = A, i= - слабая единица;

Операция наложения.

1) Операция идемпотентна, поскольку для данной операции справедливо утверждение

A + A = A;

2) Операция коммутативна, поскольку для данной операции справедливо утверждение

A + B = B + A;

3) Операция не ассоциативна, поскольку для нее справедливо утверждение

A + (B + C) ¹ (A + B) + C.

Свойства по отношению к операции склеивание:

4) Операция не дистрибутивна слева, т. к. A + (B * C) ≠ (A + B) * (A + C)

5) Операция не дистрибутивна справа, т. к. (A * B) + C ≠ (A + C) * (B + C)

Операция склеивание.

Поскольку условие операции не выполняться для всех пазлов, то операция склеивания:

1) не идемпотентна

2) не коммутативна

3) не ассоциативна

и по отношению к операции наложения:

4) не дистрибутивна слева

5) не дистрибутивна справа