Основные теоремы о линейных оптимальных быстродействиях

12.    Основные теоремы о линейных оптимальных быстродействиях.

Т е о р е м а 2.2. Для каждого нетривиального решения y(t) уравнения (2.11) соотношение (2.12) однозначно определяет допустимое управление u(t); при этом оказывается, что функция u(t) кусочно-постоянна и её значениями являются лишь вершины многогранника U.

Каждую точку разрыва оптимального управления мы будем называть точкой переключения.

Т е о р е м а 2.3. Предположим, что многогранник U является r-мерным параллелепипедом (2.2) и что все собственные значения матрицы A=(aⁱ_j), составленной из коэффициентов уравнений (2.1), действительны. Тогда в оптимальном управлении u(t)=(u¹(t),…, u^r(t)) каждая из функций u^b(t), b=1,…,r, кусочно-постоянна, принимает только значения a^b и b^b (см. (2.2)) и имеет не более n-1 переключений (т. е. не более n интервалов постоянства), где n — порядок системы (2.1).

Т е о р е м а 2.4 (т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и). Пусть u₁(t) и u₂(t) — два оптимальных управления, заданных соответственно на отрезках t₀£t£t₁ и t₀£t£t₂ и переводящих точку x₀ в начало координат. Тогда эти управления совпадают, т. е. t₁=t₂ и u₁(t)ºu₂(t) на отрезке t₀£t£t₁.

Областью управляемости для объекта (2.5) мы будем называть множество всех точек x₀ фазового пространства X, из которых возможно при помощи какого-либо допустимого управления попасть в начало координат. Само начало координат мы также будем причислять к области управляемости. Ясно, что вопрос о нахождении оптимальных процессов разумно ставить лишь в случае, если начальное фазовое состояние x₀ принадлежит области управляемости (ведь из точек, не принадлежащих области управляемости, вообще нельзя попасть в начало координат).

Т е о р е м а 2.5 (т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я). Область управляемости является выпуклым открытым множеством фазового пространства X; для любой точки x₀, принадлежащей области управляемости, существует оптимальное управление, переводящее точку x₀ в начало координат.

Т е о р е м а 2.6. Если в линейной задаче оптимального управления матрица A (см. (2.3)) устойчива, т. е. все её собственные значения имеют отрицательные действительные части, то область управляемости совпадает со всем фазовым пространством X. Следовательно, для любой точки x₀ÎX существует оптимальное управление, переводящее фазовую точку x₀ в начало координат.

§ 5. Решение задачи синтеза для линейных задач второго порядка

13.    Упрощение уравнений линейного управляемого объекта. Нередко бывает, что в линейной задаче общая запись уравнений движения объекта в виде (2.1) неудобна и целесообразно воспользоваться некоторыми упрощениями. Мы здесь отметим стандартные упрощения, которые можно осуществить с помощью замены координат.

q  Прежде всего, рассмотрим вопрос о замене координат в фазовом пространстве X рассматриваемого управляемого объекта. Предположим, что в пространстве X вместо координат x¹,…, xⁿ введены новые координаты y¹,…, yⁿ, связанные с прежними координатами соотношениями

(2.13)

(где матрицы P=(pⁱ_j) и Q=(qⁱ_j) взаимно обратны). Ясно, что при такой замене линейная система (2.1) превращается в новую линейную систему

коэффициенты которой легко вычисляются:

Таким образом, ,

Переходя к векторным обозначениям, можно сказать, что указанная замена координат переводит уравнение (2.5) в уравнение  где матрицы C и D выражаются через матрицы A, B, P, Q по формулам C=QAP, D=QB.

Очевидно, при такой замене условия 1), 2), указанные на стр. 15, сохраняются и для уравнения  получаемого после замены. Далее, каждый процесс (u(t), x(t)), удовлетворяющий уравнению  переходит в процесс (u(t), y(t)), удовлетворяющий уравнению  (и обратно). Так как при этом время t не меняется, то указанная замена переводит оптимальные процессы для уравнения (и наоборот). В частности, синтез оптимальных управлений для уравнения  переводится с помощью преобразования координат (2.13) в синтез оптимальных управлений для уравнения .

Таким образом, если уравнение окажется проще и для него синтез оптимальных управлений можно будет построить, то из этого синтеза можно (с помощью афинного преобразования (2.13)) получит синтез и для первоначального уравнения . В этом и заключается смысл замены координат (2.13): она позволяет заменить матрицу A трансформированной матрицей C=QAP, в то же время вызывая лишь афинное искажение картины синтеза оптимальных управлений. Таким образом, преобразованием (2.13) можно воспользоваться для упрощения матрицы A, составленной из коэффициентов при фазовых координатах.

q  Предположим, что в уравнении  матрица A уже приведена к простейшему виду (с помощью описанного выше приёма). Укажем теперь, каким образом может быть упрощена матрица B, составленная из коэффициентов при управляющих параметрах.

С этой целью положим

(2.14)

Это означает, что вместо r управляющих параметров u¹,…,u^r вводятся n других управляющих параметров v¹,…, vⁿ, благодаря чему система (2.1) заменяется следующей:

или в векторной форме,

Нужно только выяснить, в каких пределах может изменяться точка v=(v¹, v²,…, vⁿ). Удобно считать, что эта точка v=(v¹, v²,…, vⁿ) расположена в том же пространстве X, что и точка x=(x¹,…, xⁿ).

Соотношения (2.14) определяют линейное отображение r-мерного пространства переменных u¹,…,u^r в фазовое пространство X. Образом многогранника U при отображении (2.14) является некоторый выпуклый многогранник в пространстве X, который мы обозначим через V.

Таким образом, получаем два линейных уравнения:

(2.15)

(2.16)

Г л а в а III

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 6. Решение задачи синтеза в случае комплексных собственных значений

14.    Задача синтеза для малых колебаний маятника. Здесь будет дано полное решение задачи синтеза оптимальных управлений для линейных объектов, описываемых уравнениями второго порядка. Фазовое пространство X в этом случае представляет собой плоскость.

Рассмотрим колебание плоского маятника. Как известно колебание маятника, подвешенного к точке опоры, описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

(в нашем случае положим β=1)

при малых колебаниях маятника Sinφ≈φ тогда уравнение движения маятника запишется в виде:

(3.1)

Управляющий параметр u (скалярный) будем предполагать изменяющимся в пределах -1£u£1.

Пусть — угол отклонения, а  — скорость маятника. Тогда уравнение (3.1) перепишется в виде следующей нормальной системы:

(3.2)

На плоскости x¹, x² «многогранник» U будет представляться отрезком [-1, 1], расположенным на оси x². Легко видеть, что ось x² не является собственным инвариантным подпространством матрицы A, которая для системы (3.2) имеет вид:

A=,

и потому условие общности положения всегда выполнено.

Найдём собственные значения матрицы A. Для этого составим характеристическое уравнение |λE─A|=0, т. е. λ²+λ+1=0. Откуда находим, что собственные значения матрицы A такие:

т. е. собственные значения матрицы A комплексные. Введём обозначения  где b≠0.

Тогда матрица A преобразуется к виду:

=.

Будем рассматривать систему, соответствующую матрице , т. е. систему вида:

(3.3)

Вначале рассмотрим соответствующую однородную систему:

(3.4)

Общее решение этой системы имеет вид:

где c, γ – произвольные постоянные интегрирования.

Запишем функцию H и применим принцип максимума.

где ψ₁, ψ₂ определяются системой, сопряжённой к системе (3.3), т. е. системой вида:

(3.5)

Общее решение этой системы имеет вид:

где c’, γ’ – произвольные постоянные интегрирования. Т. е. функция H имеет вид:

Подставим в функцию H представление решений x¹, x²:

Т. к. собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению l имеет вид q₁─iq₂, где q₁=(1;─1/2); q₂=(0;─).

Пусть q₁ и q₂ – базисные векторы новой косоугольной системы координат y¹, y². Тогда переход от системы y¹, y² к системе x¹, x² выражается формулами:

Тогда в новых координатах система уравнений (3.2) запишется в виде

или, иначе, в виде

где v=(v¹, v²) ─ управляющая точка, которая может меняться в пределах многогранника V, представляющего собой отрезок [] оси y².

Согласно теории вершинам e₁=(0, ), e₂=(0, ) многогранника V соответствуют точки h₁=(1, -), h₂=(-1, ) (координаты указаны в системе y¹, y²), а каждый из углов a₁, a₂, соответствующих этим вершинам, равен p.

Теперь уже нетрудно построить синтез оптимальных управлений в плоскости y¹, y². Кусками фазовых траекторий будут дуги логарифмических спиралей, т. к. у нас b=1, т. е. b>0 (рис. 18).

 При переходе от координат y¹, y² к координатам x¹, x² картина синтеза афинно искажается.

Список используемой литературы: 1.   В.Г. Болтянский. «Математические методы оптимального управле­ния», М.: «Наука», 1968г. 2.   Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. «Математическая теория оптимальных процессов», 4-е издательство. М.: «Наука», 1983г. 3.   Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. «Методы оптимизации», Минск, издательство БГУ, 1981г.