U’ 0 U’

0 U’ 0 U’

а) б)

Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:

а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.

Введение

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

x’ = f ( t , x )

(1)

с начальными условиями x ( t₀ ) = x₀ (2)

где x = ( x₁, x₂, ... , x_n ) - n - мерный вектор; t О I = [t₀, + Ґ [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f ( t, x ) = ( f₁ ( t , x ) , f₂ ( t , x ) , ... , f_n ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t₀ ) = x₀. С целью упрощения все рисунки п. 1⁰ ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

x

0 t

Рис.1

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rⁿ⁺¹ (рис.1)

Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t₀ , x₀ ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные ( t₀ , x₀ ) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных ( t₀ , x₀ ) приводят к существенному изменению решения x ( t ; t₀ , x₀ ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные ( t₀ , x₀ ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) , вызванное отклонением D x₀ начального значения x₀ , будем записывать следующим образом:

| x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) - x ( t ) | = | x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) - x ( t ; t₀ , x₀ ) |.

Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x₀ на интервале I = = [ t₀, + Ґ [ , т.е. " e > 0 $ d > 0 такое, что " D x₀

| D x₀ | Ј d Ю | x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) - x ( t ) | Ј e " t і t₀.

Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ® + Ґ для достаточно малых D x₀ , т.е. $ D > 0 " D x₀.

| D x₀ | Ј D Ю | x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) - x ( t ) | ® 0 , t ® + Ґ . (3)

то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) , близкие в начальный момент t₀ к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки ) , не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t і t₀ .

x

0 t

Рис.2

2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x₁ ( t ) , начинающееся в момент t₀ в D - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса D называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x₂ ( t ), начинающееся при t = t₀ за пределами области притяжения, но в пределах d - трубки, не покидает e - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).

Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t₀ к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t₁ ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e - трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.

x

0 t

Рис.3 Рис.4

Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему

y’ = F ( t, y ). (4)

где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) є 0 " t і t₀.

Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) є 0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 " t і t₀, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1).

Определение 3. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если " e > 0 $ d = d ( e ) > 0 такое, что " x₀

| D x₀ | Ј d Ю | x ( t ; t₀ , x₀ ) | Ј e " t і t₀.

Если кроме того,

$ D > 0 " x₀ | D x₀ | Ј D Ю | x ( t ; t₀ , x₀ ) | ® 0 , t ® + Ґ ,

то решение x ( t ) є 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .

Определение 4. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

$ e > 0 $ t₁ > t₀ " d > 0 x₀ № 0 | x₀ | Ј d Ю | x ( t ; t₀ , x₀ ) | > e .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.

x

t

0

Рис.5

x

t

0

Рис.6

x

t

0

Рис.7