Постановка задачи

3. Постановка задачи

3.1. Описание модели. В настоящее время наблюдается значи­тельно возрастающий интерес к исследованию нелинейных волно­вых процессов в различных областях физики (например, в оптике, физике плазмы, радиофизике, гидродинамике и т.д.). Для изучения волн малой, но конечной амплитуды в дисперсионных средах в каче­стве модельного уравнения часто используют уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ):

u_t + ии_х + bи_ххх = 0 (3.1)

Уравнение КдФ было использовано для описания магнитозвуковых волн, распространяющихся строго поперек магнитного поля или под углами, близкими к .

Основные предположения, которые делаются при выводе уравне­ния: 1) малая, но конечная амплитуда, 2) длина волны велика по сравнению с длиной дисперсии.

Компенсируя действие нелинейности, дисперсия дает возможность формироваться в дисперсионной среде стационарным волнам конеч­ной амплитуды - уединенным и периодическим. Уединенные волны для уравнения КдФ после работы [8] стали называться солитонами [9]. Периодические волны носят название кноидальных волн. Соот­ветствующие формулы для их описания даны в [4].

3.2. Постановка дифференциальной задачи. В работе иссле­дуется численное решение задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с периодическими условиями по пространству в прямоуголь­нике Q_T={(t,x):0<t<T, x Î [0,l].

u_t + ии_х + bи_ххх = 0 (3.2)

u(x,t)|_x=0=u(x,t)|_x=l (3.3)

с начальным условием

u(x,t)|_t=0=u₀(x) (3.4)

4. Свойства уравнения Кортевега - де Фриза

4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ. Задача Коши для уравнения КдФ при различных предположениях отно­сительно u₀(х) рассматривалась во многих работах [10-17]. Задача о существовании и единственности решения с условиями периодично­сти в качестве краевых условий была решена в работе [10] с помощью метода конечных разностей. Позже, при менее сильных предположе­ниях, существование и единственность были доказана в статье [11] в пространстве L^¥(0,T,H^s(R¹)), где s>3/2, а в случае периодической задачи - в пространстве L^¥(0,T,H^¥(C))где С - окружность дли­ны, равной периоду, на русском языке эти результаты представлены в книге [12].

Случай, когда не предполагается какая-либо гладкость началь­ной функции u₀ÎL₂(R¹), рассмотрен в работе [13]. Там вводит­ся понятие обобщенного решения задачи (3.2),(3.4), устанавливает­ся существование обобщенного решения и(t,х) Î L^¥(0,T,L²(R¹)) в случае произвольной начальной функции u₀ ÎL₂(R¹); при этом и(t,х) Î L²(0,Т;H^-1(-r,r)) для любого r>0, и если для некото­рого a > 0 (x^au₀²(x)) Î L¹(0,+¥) , то

(4.1)

Используя обращение линейной части уравнения при помощи фун­даментального решения G(t,x) соответствующего линейного опера­тора , вводится класс корректности задачи (3.2),(1.4) и уста­навливаются теоремы единственности и непрерывной зависимости решений этой задачи от начальных данных. Также исследуются во­просы регулярности обобщенных решений. Одним из основных ре­зультатов является достаточное условие существования непрерыв­ной по Гельдеру при t > 0 производной  в терминах существования моментов для начальной функции, для любых k и l.

Задача Коши для уравнения КдФ исследовалась также методом обратной задачи рассеяния, предложенном в работе [14]. При по­мощи этого метода были получены результаты о существовании и гладкости решений при достаточно быстро убывающих начальных функциях, причем в [15] установлен, в частности, результат о раз­решимости задачи (3.2),(3.4) в пространстве C^¥(О, Т; S(R¹)).

Наиболее полный обзор современных результатов по уравнению КдФ можно найти в [16].

4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ. Как известно, для уравнения КдФ существует бесконечное число законов сохране­ния. В работе [17] приводится строгое доказательство этого факта. В работах [11], [12] различные законы сохранения применялись для до­казательства нелокальных теорем существования решения задачи (3.2),(3.4) из соответствующих пространств.

Продемонстрируем вывод первых трех законов сохранения для за­дачи Коши на R¹ и периодической задачи.

Для получения первого закона сохранения достаточно проинте­грировать уравнения (3.2) по пространственной переменной. Полу­чим:

Здесь в качестве a и b выступают +¥ и -¥ для задачи Коши и границы основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0.

(4.2)

Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравне­ние (3.2) на 2 u(t,x) и проинтегрировать по пространственной пере­менной. Тогда, используя формулу интегрирования по частям полу­чим:

но в силу "краевых" условий все слагаемые кроме первого опять сокращаются

Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид:

 (4.3)

Для вывода третьего закона сохранения нужно умножить наше уравнение (3.2) на (и² + 2b и_хх), таким образом получим:

После применения несколько раз интегрирования по частям тре­тий и четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагае­мые исчезают из-за граничных условий. Таким образом из первого интеграла получаем:

что эквивалентно

(4.4)

А это и есть третий закон сохранения для уравнения (3.2). Под физическим смыслом первых двух интегральных законов со­хранения в некоторых моделях можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и последующих законов сохране­ния физический смысл охарактеризовать уже труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополнительную информацию о решении, которая используется потом для доказательств теорем существования и единственности решения, исследования его свойств и вывода априорных оценок.