При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений

1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений.

2. При |a| ≤0,5 имеем:

 

а) =arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2πn≥0, то n может принимать значения n=0, 1, 2, 3,.... Решением уравнения является х = 1+(2πn+аrссоs2а)²

б) =-аrссоs2а+πn. Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а+2πn>0, то n=1, 2, 3,..., и решение уравнения. х=1+(2πn-arccos2a)² .

Ответ: если |a| > 0,5, решений нет;

если |a| ≤0,5 , х = 1+(2πn+аrссоs2а)²при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2πn-arccos2a)² при n N.

Пример . Решить уравнение: tg ax² =

Решение:.

ах² = +πn, n Z

Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:

1. Если а=0, то уравнение не имеет решений.

2. Если а  0, то х² = , n Z

Уравнение имеет решение, если ≥0. Выясним, при каких значениях n

и а выполняется это условие:

≥0

откуда n ≥  и а > 0 или n ≤ и а < 0.

Итак, уравнение имеет решение х = ± , если

1) а > 0 и n = 1,2,3,… или

2) а < 0 и n Z.

Ответ: при а = 0 решений нет;

при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n Z х = ± .

Пример. Решите уравнение: а sin bx = 1

Решение: Особое значение параметра а : а = 0.

1.    При а = 0 решений нет.

2.    При а 0 sin bx = . Имеем 2 случая:

2.1. Если  > 1, то решений нет.

2.2. Если  ≤ 1, то особое значение b = 0:

2.2.1. Если b = 0, то решений нет.

2.2.2. Если b 0, то х =

Ответ: при а = 0 или  > 1 и а 0 или а 0 b = 0 решений нет;

при а 0  и  ≤ 1 и b 0 х =

Показательные уравнения с параметрами.

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а ^{f (x)} = b ^φ(х) (*), где а > 0, b > 0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:

1)    При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.

2)    При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D.

3)    При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.

4)    При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.

5)    При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению

log _c a ^f(x) = log _c b ^φ(x) (c > 0, c ≠ 1) на области D.

Пример. Решите уравнение: а ^{х + 1} = b ^{3 – х}

Решение. ОДЗ уравнения: х  R, а > 0, b >0.

1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.

2) При а = b = 1, х  R.

3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b ^{3 – х} = 1 или 3 – х = 0  х = 3.

4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а ^{х + 1} = 1 или х + 1 = 0  х = -1.

5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х  х = 1.

6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение

по основанию а, получим:

, х + 1 = ( 3 – х ) log _ab ,

Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

при а = b = 1, х  R;

при а = 1, b ≠ 1 х = 3.

при а ≠ 1, b = 1 х = -1

при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1

при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)

Логарифмические уравнения с параметром.

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2 – log (1 + х) = 3 log _а - log ( х ² – 1 )²

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log _а а² + log ( х² - 1) = log _а ()³ + log _a,

 

log _а ( а² (х² - 1)) = log _а (()³),

а² (х² - 1) = (х - 1) ,

а² (х - 1) (х + 1) = (х - 1)

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1)

а²=

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а⁴ (х + 1) = х – 1  а⁴ х + а⁴ = х – 1 х( 1 - а⁴ ) =  а⁴ + 1

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:

,

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а⁴ > 0, то есть при

а < 1.

Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.

Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a < 1

ГЛАВА 2

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие задания:

1)    При каком р уравнение х² – 2х + 1 = р имеет один корень ?

2)    При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения

х² + ( р ² + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ?

В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.

Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.

На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:

1)    на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.

2)    на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.

3)    на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.

Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:

Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.

Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.

Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных

уравнений с параметрами.

Занятие№4. Тест

Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений

с параметрами.

Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений

с параметрами.

Занятие№7. Решение показательных и логарифмических

уравнений с параметрами.

Занятие№8. Тест

 

Занятие№1

Занятие№2

Занятие №3

Занятие № 4.

Вариант I.

Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.

а) при k=-2 корней нет; при k=-2 ;

б) при k-2 корней нет; при k=-2 ;

в) при k=-2 корней нет; при k=-2 и k=0,25 .

Решите уравнение 2а( а - 2)х = а² – 5а+6 относительно х

а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 .

При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение.

а) b<1 ; б) b>1 ; в) b=1

При каких значениях а парабола у = ах² – 2х +25 касается оси х?

а) а=25 ;  б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.

При каких значениях k уравнение (k - 2)x² = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?

а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .

Решите относительно х уравнение

а)при b+1, b; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;

б)при b; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;

в)при b=; при b=±1 нет смысла.

При каких значениях параметра а уравнение имеет решение

а) а≥ 3 ; б) а=4 ; в) а≥ 0

При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

а) –0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25<а≤ 0 ; в) –0,25<а< 0

При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?

а) с( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с( - ∞ ; -1,5√3)

Вариант II.

Решите уравнение 2х( а+1)= 3а(х+1)+7 относительно х.

а) при а=-2 корней нет; при а-2 ;

б) при а-2 корней нет; при а=-2 ;

в) при а-2 и а- корней нет; при а=-2 .

Решите уравнение (а ² - 81)х = а² + 7а - 18 относительно х

а) при а=-9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 и а9 ;

б) при а=9 х R ; при а=-9 корней нет; при а-9 и а9 ;

в) при а= -9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 ;

При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет отрицательное решение?

а) b<3 ; б) b<2 ; в) b>3

При каких значениях k уравнение kx² – (k - 7)x + 9 =0 имеет два равных положительных корня?

а) k=49, k= 1 ; б) k=1 ; в) k=49 .

При каких значениях а уравнение ax² - 6x+а = 0 имеет два различных корня?

 а) а( - 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а( - 3 ; 3) ; в) с( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)

Решите относительно х уравнение

а)при а1,а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

б) при а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

в) при а1, а-0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.

При каких значениях параметра а уравнение имеет решение ?

а) а≥ 2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6

При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

а) а≥ 0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1

При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?

а) с( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с( - ∞ ; -1,5√3)

Занятие №5-6

Занятие №7

Занятие №8.

Вариант I.

Решите уравнение 3 cos x = 4b + 1 для всех значений параметра.

а) при b ( -1; 0,5 ) х = ± arcos ; при b(-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;

б) при b [ -1; 0,5 ] х = ± arcos ; при b(-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;

в) b(-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos ; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет;

Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение sin² x – 3sin x + a =0.

а) a  [ -4; 2 ] ; б) а  ( -4 ; 2) ; в) а [ - 4; 2 ).

При каких значениях а уравнение cos⁴ x + sin⁴ x = a имеет корни?

а) a  [ 0,5; 1 ] ; б) а  [ -1 ; 0,5 ] ; в) а [ - 0,5; 1 ).

Решите уравнение

а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, а