Навигация
Численное интегрирование определённых интегралов
15012
знаков
2
таблицы
23
изображения
АННОТАЦИЯ
В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами, определённого интеграла. В материале имеются иллюстрации, с помощью которых, можно более глубоко вникнуть в суть рассматриваемой темы.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………3
Основная часть………………………………………………....4
-формула прямоугольников………………………………....6
-формула трапеций…………………………………………..8
-формула Симпсона…………………………………………10
Практика……………………………………………………….15
Заключение…………………………………………………….19
Список литературы…………………………………………….20
ВВЕДЕНИЕ
Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций 
интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная 
может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, "классические" методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией 
). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
I.Определение интеграла и его геометрический смысл.
В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается 
.
Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:
(1)
это формула Ньютона-Лейбница.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:
Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что δ=maxΔxi→0 (n→∞) и при любом выборе точек
интегральная сумма σk=
f(εi) Δxi стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е.
limn→∞ σk = limδ→0f (εi) Δxi=A(2).
Где Δхi=xi-xi-1 (i=1,2,…,n) ε=maxΔxi – начало разбиения 
произвольная точка из отрезка[xi-1;xi]
сумма всех произведений f(εi)Δxi(i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:
Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S=
f(x)dx.
II.Приближённые методы вычисления.
Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.
Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных.
Например следующие интегралы: ∫e-xdx; ∫
; ∫dx/ln│x│; ∫(ex/x)dx; ∫sinx2dx; ∫ln│x│sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях.
Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования.
В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше.
Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.
Похожие работы
... значения интеграла, основан на «монотонности» интеграла. При этом способе подынтегральную функцию приближают снизу и сверху интегрируемыми в замкнутом виде функциями и , т.е. , (34) Тогда (35) 5. Вычисление интегралов методом Монте-Карло Пусть нам нужно вычислить интеграл: (36) В случае, когда методы Ньютона-Котеса и Гаусса работают плохо, приходится обращаться к вероятностным ...
... сегмента равна , мы получим формулу прямоугольников (1), в которой Здесь . Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции Примеры вычисления определённых интегралов по формуле прямоугольников. Для примеров возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле прямоугольников. П р и м е р 1. ...
... . Также мы получим графическое отображение процесса интегрирования на участках возрастания и убывания функции. 2. Выбор математической модели задачи Кратко рассмотрим основные методы численного интегрирования и выясним почему метод Гаусса наиболее подходит для решения нашей задачи. 2.1 Метод прямоугольников Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на ...
... – границы интервалов интегрирования; и - коэффициенты значения которых определяются величиной m. Для m=3 A1=5/9, A2=8/9, A3=5/9, , t2=0, t3=-t1 Блок-схема программы. Блок-схема1: Функция вычисления интеграла. Блок-схема 2: Основная программа. Текст программы и результаты счета. program Kursovoy; const A1=5/9; A2=8/9; t=-0.77459;{константы ...
0 комментариев