Пусть  и  корни уравнения . Выразить  через  и

12. Пусть  и  корни уравнения . Выразить  через  и .

Решение.

Необходимо выразить  через  и :

По теореме Виета

тогда

Ответ: .

13. Определить все значения параметра , при которых уравнение  имеет 1 корень.

Решение.

В условие не сказано, что рассматривается квадратное уравнение, поэтому рассмотрим случай

Остальные значения параметра получим из уравнения .

Ответ:

Простейший прием нахождения наибольших значений, основанный на свойствах квадратичных функций состоит в том, что исследуемая функция при помощи преобразований или замены переменной приводится к квадратичной, после чего выделяется полный квадрат.

14.Найти наибольшее значение функции

Решение.

Положим , тогда  Отсюда  Итак, после замены получим, что надо найти наибольшее значение

15.Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение.

Рассмотрим данное неравенство как уравнение с неизвестным  и параметром .

После преобразований получим

Для того, чтобы уравнение имело решение необходимо и достаточно, чтобы

Отсюда наименьшее значение функции , наибольшее .

Ответ:

Как видно из решений последних задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений иногда удобнее рассматривать функцию  как уравнение с неизвестным , в котором необходимо установить при каких  это уравнение имеет решение. Рассмотрим еще один пример, в котором работает эта идея с небольшими вариациями.

16. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения , если

 .

Решение.

Положим . Подставим полученное выражение в (1):

 

Ответ: наибольшее значение выражения  равно ; наименьшее - .

Рассмотрим один из самых универсальных методов доказательства – методом математической индукции.

17. Доказать, что при любом натуральном  число делится на 7.

Решение.

Обозначим .

1)   При  - делится на 7.

2)   Пусть  делится на 7.

Имеем

Последнее число делится на 7, т.к. представляет собой разность двух целых чисел, которые делятся на 7, ч.т.д.

17. Доказать тождество:

Решение.

1)При   равенство выполняется.

2)Предположим, что равенство выполняется при

При  имеем:

ч.т.д.

18. Выполнить следующие действия:

а) ; б) ; в)

Решение.

а)

б)

в)

 

Ответ: а); б) в)

19. Решить уравнения:

а) ;

б)

Решение.

а)

б)

Чтобы найти  не будем переходить к тригонометрической форме (но и этот путь верный). Итак, надо найти числа  и  такие что,

Достаточно найти одно решение

Т.о.

Ответ: а) б).

2.3. Индивидуальная работа учащихся.

Поскольку внеклассная индивидуализация осуществляется в основном в форме самостоятельной работы, следует, естественно, учитывать требования, исходящие из методики самостоятельной работы.

Самостоятельная работа учащихся – это такой способ учебной работы, где 1) учащимся предлагаются учебные задания и руководства для их выполнения; 2) работа проводится без непосредственного участия учителя, но под его руководством; 3) выполнение работы требует от учащегося умственного напряжения.

С точки зрения организационных основ самостоятельную работу можно разделить на: 1) самостоятельную работу в школе и 2) самостоятельную работу, выполняемую за пределами школы, в т. ч. и дома. Самостоятельная работа в школе может проводиться в рамках урока, зачета, семинара, практического занятия и т. д. На основе другого логического членения можно выделить еще два вида самостоятельной работы: 1) индивидуальную и 2) групповую.

В ходе самостоятельной работы каждый ученик получает конкретное задание, которое предполагает и выполнение определенной письменной работы. В этом случае можно проверить степень участия ученика в выполнении этого задания. Самостоятельная работа позволяет работать и в индивидуальном темпе и стиле.

Учебные задания для самостоятельной работы.

Учебные задания для самостоятельной работы весьма разнообразны. Их можно в основном делить на следующих 4 логических основаниях: 1) по методу самостоятельной работы учащихся (например, наблюдения, упражнения, работа с текстом учебника); 2) по звеньям учебного процесса (задания на восприятие, систематизацию, закрепление и повторение учебного материала); 3) по характеру познавательной деятельности учащегося (репродуцирующие и творческие задания); 4) по характеру руководства (подробное или менее подробное инструктирование).

Выделяют 3 основных вида основной работы:

А. Учебные задания, опосредующие учебную информацию. В учебном задании соответствующая информация дана непосредственно или же задание указывает на источник, откуда можно получить необходимую информацию. Этот вид задания заменяет устное изложение учителя и предназначен в основном для первоначального восприятия учебного материла.

Б. Учебные задания, направляющие работу ученика с учебным материалом. Эти задания ориентируют ученика на осмысление и систематизацию учебного материала, а также на самоконтроль; наводят на сравнение, выводы, обобщения.

В. Учебные задания, требующие от ученика творческой деятельности. Эти задания направляют ученика к решению проблем, к самостоятельному сбору материала, к составлению заданий.

Рабочее руководство к индивидуализированной самостоятельной работе.

Рабочее руководство к индивидуализированной самостоятельной работе представляет собой, в принципе, такое же рабочее руководство, которое используется при обычной самостоятельной работе. Поэтому по отношению к нему действуют точно такие же требования. Эти руководства различаются тем, что в пределах класса не ограничиваются только одним-единственным рабочим руководством, а составляют его варианты, где учитываются индивидуальные особенности учащихся с помощью индивидуализированных заданий.

Варианты рабочего руководства могут отличать друг от друга или частично, или полностью. Выбор варианта зависит от того, в какой мере желают индивидуализировать учебную работу.

Среди вариантов, использованных в наших экспериментах, можно выделить следующие типы рабочих руководств:

1 тип.1. Общие задания.

2. Дополнительные задания более быстрым и сильным ученикам.

2 тип.1. Общее задание.

2. Разветвленные задания: а) более легкий вариант, б) средний вариант, в) более трудный вариант.

3  тип. Разветвленные задания: а) более легкий вариант, б) средний вариант, в) более трудный вариант.

4 тип. 1. Разветвленные задания: а) более легкий вариант, б) средний вариант, в) более трудный вариант.

2. Общие задания.

АЛГЕБРА IX КЛАСС

I вариант

Часть А

1.   Упростите выражение а³ (а^-2)³.

1)   а^-5; 2) а^-3; 3) а^-9; 4) а⁹.

2.   Найдите значение выражения b – 54b^-2, если b = 3.

1)   –6; 2) 9; 3) –3; 4) 327.

3.   Решите систему уравнений:

1)   (3; -1); 2) (-1; 3); 3) (-2; 6); 4) (6; -2).

4. Сократите дробь: 9с² - 1

2с+ 6с²

1)   ; 2) ; 3) 3с – 1; 4) 3с + 1.

5.   Упростите выражение: 25 – (5 – 2с)².

1) 20с + 4с²; 2) 10с – 4с²;

3) –20с + 4с²; 4) 20с – 4с².

6.   Упростите выражение: +  + 5.

1)   14; 2) 50; 3) 20; 4) 24.

7.   Решите систему неравенств:

1) (∞; -8); 2) ;

3) +∞ ); 4) (-∞; .

8.   Через точку (0; -1) проходит график функции

1)   у = 1 – х²; 2) у = ; 3) у = х – 1; 4) у =  - 1.

9.   По графику квадратичной функции найдите все значения аргумента, при которых значения функции неотрицательны.

 у

1)   (∞; -1);

2)   (∞; ; +∞);

3)   ; ∞); 4)  ; +∞).

0

-3 -2 -1  1 2 3 4 х  

10. Упростите выражение:  m  + m² + 9

m+3 9-m²

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

11.       Выразите из формулы S= переменную b.

1) b = ; 2) b = ;

3) b =  - а; 4) b =  - a.

12.      На рисунке изображен график движения пешехода из города М в город К. На каком расстоянии от города М пешеход устроил привал?

 

S (км)

14 К

12

10

8

6

4

2

 М 1 2 3 4 5 6 t(ч)

1) 8 км; 2) 4 км; 3) 2 км; 4) 5 км.

13. Расположите в порядке возрастания числа ; 3; 4.

1) ; 4; 3; 2) 4; ; 3;

3) 3; ; 4; 4) 4; 3; .

      

14. Катер прошел по течению реки 8 км и вернулся обратно, потратив на весь путь 5ч. Скорость течения реки 3 км/ч. какова собственная скорость катера?

Если собственную скорость катера обозначить буквой х, то можно составить уравнение:

1) 2,5(х+3)+2,5(х-3) = 8 2) += 5;

3) += 8; 4) += 8.

15. Соотношение соли и сахара в рассоле равно 5 : 2. Сколько сахара содержится в 210 г рассола?

1)   60 г; 2) 70г; 3) 42 г; 4) 105г.

16. Вычислите значение выражения:

( 1,47 • 10^-5) : (4,2 • 10^-8)

и приведите результат к стандартному виду.

1)   3,5 • 10^-2; 2) 3,5 • 10²; 3) 3,5 • 10⁴; 4) 0,35 • 10³.

17. Решите неравенство х2 – 5х + 4  0.

1) (∞; 4); 2) (-∞; ; 3) ; 4) (-4; -1).

Часть В

1.    Найдите 35% от числа 420.

2.   Найдите положительный корень уравнения 17х² – 51х = 0

3.   Решите уравнение  -  = 8

4.   Найдите ординату точки пересечения графиков функций у=5х – 1 и у = 4х + 5.

5.   Найдите меньший корень уравнения = 5 + х

Часть С

1.Сократите дробь 4х² + 5х + 1

 2х + 8х².

2. Задайте формулой квадратичную функцию, график которой – парабола с вершиной в точке Т (0; 4), проходящая через точку М (-3; -8).

Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,3; 9,6; … .

Ответы

I вариант

 

А: 1. 2; 2. 3; 3. 1; 4. 1; 5. 4; 6. 3; 7. 4; 8. 3; 9. 2; 10. 4; 11. 3; 12. 1;

13. 2; 14. 4; 15. 4; 16. 2;  17. 3.

В: 1. 147; 2. 3; 3. –22; 4. 29; 5. –6.

С: 1.  ; 2. у = - х² + 4; 3. 43,4.

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА XI КЛАСС

I вариант

Часть А

1.   Результат вычисления выражения

(1,6 - 2 - ) · (-3) – 0,4 : (-1,25) равен:

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.

2.   Результат упрощения выражения

( + ) : + имеет вид:

1) –с – 1; 2) 1 – с; 3) 2 – с; 4) с – 1; 5) с –2.

3.   Даны три точки: (1; -2), (-2; 1), (2; 3). Если две из них принадлежат графику функции у = ах + b, пересекающему ось Оу в точке с положительной ординатой, то значение параметра а равно:

1)   –1; 2) 2; 3) 5; 4) 0,5; 5) 0,75.

4.   Число целых значений аргумента на промежутке , при которых функция у = 2х² – 8х + 2 принимает отрицательные значения, равно:

1)   0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.

5.   Если х₀, у₀ – решение системы уравнений

то сумма х₀ + у₀ равна:

1)   2; 2) 1; 3) –1; 4) –2; 5) –3.

6.   Если х₁ и х₂ – корни уравнения –2х² + 3х + 5 = 0, то значение выражения х₁ + х₂ + 2х₁х₂ равно:

1) 9; 2) –3,5; 3) 15; 4) –7,5; 5) 0.

7.   Среднее арифметическое всех корней уравнения

 (х-1)² (х+2) + (1-х²) (х+3) = х² + 4х – 5 равно:

1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,75; 4) –0,75; 5) –0,5.

8. Если х₀ – корень уравнения · = х+1, то значение выражения х₀ + 2 равно:

х₀ – 2

1) -; 2) ; 3) –3; 4) 3; 5) 1.

9. Количество целых положительных решений неравенства  равно:

1)   2; 2) 3; 3) 4; 4) 5; 5) 1.

10.      Сумма корней уравнения ׀6х – 5х²׀ = 1 равна:

1)   –2,4; 2) –2,2; 3) –1,2; 4) 1,2; 5) 2,4.

11.      Количество целых решений неравенства ׀׀х׀ - 2׀ < 1 равно:

1)   1; 2) 0; 3) 2; 4) 3; 5) 6.

12.      Наименьший положительный период функции у =  tg равен:

1)   2π; 2) 2π; 3) 21π; 4) 2π; 5) 4π.

 7 3 4

13. Если sin α = 3 и 0 < α <π, то величина sin α равна:

2     5

1)   -; 2) -; 3) -; 4) ; 5) .

5

14. Значение выражения cos ( π – arcsin 4) равно:

2                 5

1) -; 2) ; 3) ; 4) -; 5) .

15. Сумма корней уравнения 2cos2x + sinx = 2, принадлежащих промежутку [π ; 9π], равна:

2 8

1) 11π ; 2) 3π ; 3) 4π ; 4) 5π ; 5) π .

6 2 3  6 2  

16. Решением неравенства sin х , удовлетворяющим условию

2

х [- π ; 5π  ], является промежуток:

2 4

1) [ π ; 3π ]; 2) [ -π ; 5π ]; 3) [ π ; 5π ]; 4)[ π ; 5π ]; 5) [ π ; π ].

4 4 4 4 4 4 2 4 4 2

17. Область определения функции f(х) = 1  имеет вид:

log₅ (4-x) –1

1) (-∞; 4); 2) (-∞; -1)  (-1; 4); 3) (-1; ∞); 4) (-∞; 4)  (4; ∞); 5) (4; ∞).

18.   Результат вычисления выражения 4 ^1-2log39+log₅равен:

 1)  ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

19.   Корень уравнения log₂(x+4) + log₂(x-3) = 3 принадлежит промежутку:

1) (-3; 1); 2) (-10; 0); 3) (1; 5); 4) [5; 12); 5) (-1; 3).

20.   Множество решений неравенства (1,5)^х * ( 2 )^2х-1 > 4 имеет вид:

3 9

1) ( 3; ∞); 2) ( 2; ∞ ); 3) (- ∞; 3); 4) (-∞; 2)  (4; ∞); 5) (6; ∞).

21.   Количество целых решений неравенства log_1/2(3x+1) > -3 равно:

 1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 1; 5) 6.

22.   Если касательная, проведенная к графику функции у = -2х² + 5х, имеет угловой коэффициент, равный –2, то абсцисса точки касания равна:

1) - ; 2)  ; 3) -; 4) ; 5) .

23.   Уравнение касательной, проведенной к графику функции у=х² в точке с абсциссой х₀=-1, имеет вид:

1) у = -2х + 1; 2) у = -2х; 3) у = -2х – 1; 4) у = -х – 1; 5) у = -х –1.

24.   Точка максимума функции у = х³ – 3х² – 45х равна:

1) -2; 2) –3; 3) –4; 4) –5; 5) –6.

25.   Одна из первообразных функций 6sin3x равна:

1)   1 – 2cos3x; 2) –18cosx; 3) 18cosx; 4) 2cos3x; 5) 1 + 2sin3x.

26.   Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

 у = 4cosx, y = 0, x = 0, и х = π , равна:

6

1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) 2,5; 5) 0,5.

Часть В.

1.   Найдите количество целых решений неравенства  17х + 1  1.

8х² + 8х + 15

2.   Найдите сумму первых одиннадцати членов арифметической прогрессии, шестой член которой равен 6.

3.   Найдите значение выражения х₀(х₀ + 2), если х₀ – корень уравнения  5^х – 7 · 5^х-2 = 90.

4.   Найдите наименьшее значение функции у = 3х² – 12х – 16 на отрезке [3; 8].

 

Ответы:

А: 1. 4; 2. 4; 3. 4; 4. 3; 5. 3; 6. 2; 7. 4; 8. 4; 9. 4; 10. 5; 11. 3; 12. 4;

13.      4; 14. 3; 15. 1; 16. 1; 17. 2; 18. 3; 19. 3; 20. 3; 21. 3; 22. 5; 23. 3;

24. 2; 25. 1; 26. 1.

В: 1. 7; 2. 66; 3. 15; 4. 25.

2.4. Критерии оценки знаний и умений учащихся.

Учитель, опираясь на эти рекомендации, оценивает знания и умения учащихся с учетом их индивидуальных особенностей.

1.   Содержание и объем материала, подлежащего проверке, определяется программой по математике для средней школы. При проверке этого материала следует выявлять полноту, прочность усвоения учащимися теории и умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях

2.   Основными формами проверки знаний и умений учащихся по математике в средней школе являются письменная контрольная работа и устный опрос. При оценке письменных и устных ответов учитель в первую очередь учитывает показанные учащимися знания и умения (их полноту, глубину, прочность, использование в различных ситуациях). Оценка зависит так же от наличия и характера погрешностей, допущенных учащимися.

3.   Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты. Погрешность считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что ученик не овладел основными знаниями, умениями, указанными в программе. К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном ил недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся в соответствии с программой основными. Недочетами также являются: погрешности, которые не привели к искажению смысла полученного учеником задания или способа его выполнения; неаккуратная запись; небрежное выполнение чертежа. Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной. При одних обстоятельствах допущенная учащимися погрешность может рассматриваться учителем как ошибка, в другое время и при других обстоятельствах – как недочет.

4.   Задания для устного и письменного опроса учащихся состоят из теоретических вопросов и задач. Ответ на теоретический вопрос считается безупречным, если по своему содержанию полностью соответствует вопросу, содержит все необходимые теоретические факты и обоснованные выводы, а устное изложение и письменная запись ответа математически грамотны и отличаются последовательностью и аккуратностью. Решение задачи считается безупречным, если правильно выбран способ решения, само решение сопровождается необходимыми объяснениями, верно выполнены нужные вычисления и преобразования, получен верный ответ, последовательно и аккуратно записано решение.