Квартили – значение признака делящее совокупность на 4 равные части

2.    Квартили – значение признака делящее совокупность на 4 равные части.

1^ый квартиль

3^ий квартиль

2^ой квартиль – медиана.

x_Q1  x_Q3 – нижняя граница интервала содержащего 1^го и 3^го квартили.

l – длина интервала

 и  - накопленные частоты интервалов предшествующих интервалов содержащих 1 и 3 квартили.

 - частоты квартильных интервалов.

Для характеристики вариационного ряда используются:

Децили – делят совокупность на 10 равных частей, Перцитили – делят совокупность на 100 равных частей.

3.    Мода – часто встречающаяся характеристика признака. Для дискретного вариационного ряда – наибольшая частота. Для интервального вариационного ряда мода рассчитывается по следующей формуле:

 - нижняя граница модального интервала

l – длина модального интервала

f_Mo – частота модального интервала

f_Mo+1 – частота интервала следующего за модальным

Модальный интервал – интервал с наибольшей частотой. Графически мода находится по гистограмме.

§4.

1.    Размах вариации

2.    Среднее линейное отклонение

 - взвешенная

3.    Дисперсия:

 - взвешенная

4.    Средне квадратическое отклонение

Свойство дисперсии.

1.   

1.    уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину не меняет величину дисперсии.

2.    Уменьшение всех значений признаков в к раз уменьшает величину дисперсии в к² раз, а СКО в к раз

3.    если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А отличающийся от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений исчисленного из средней арифметической. Таким образом  от средней всегда меньше  исчисленной от любой другой величины т.е. она имеет свойство минимальности. СКО=1,25 -при распределениях близких к нормальному.

В условиях нормального распределения существует следующая зависимость между  и количеством наблюдений в пределах находится 68,3% наблюдений.

В пределах  находится 95,4% наблюдений

В пределах  находится 99,7% наблюдений

§5.

Для сравнения вариации признаков в разных совокупностях или для сравнения вариации разных признаков в одной совокупности используются относительные показатели, базой служит средняя арифметическая.

1.    Относительный размах вариации.

2.    Относительное линейное отклонение

3.    Коэффициент вариации

данные показатели дают не только сравнительную оценку но и образуют однородность совокупности. Совокупность считается однородной если коэффициент вариации не превышает 33%.

§6

На ряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака, но группам, на которые делится совокупность и между ними. Эта достигается путем вычисления разных видов.

Виды дисперсии:

1.    Общая дисперсия

2.    Межгрупповая дисперсия

3.    Внутригрупповая дисперсия (остаточная)

1.    измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием все факторов обусловивших данную вариацию

Пример: потребление йогурта: при выборке 100 человек

Возраст

Доход

Социальное положение

x_i –индивидуальное значение признака

- среднее значение признака по всей совокупности

 - частота этого признака.

2.    характеризует вариацию признака под влиянием признака фактора положенного в основу группировки.

 - средняя по группе

 - общая средняя по группе

 - частота по группе

3.     характеризует вариацию признака под влиянием факторов не включенных в группировку

x_ij – i значение признака в j группе

 - среднее значение признака в j группе

f_ij – частота i-го признака в j группе

Существует правило которое связывает 3 вида дисперсии, оно называется правило сложения дисперсии.

 - остаточная дисперсия по j группе

 - сумма частот по j группе

n – общая сумма частот

§7

основная задача анализа вариационных рядов – выявление закономерности распределения частот.

Кривая распределения – графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду в функционально связанным изменением значения признака.

Кривую распределения можно построить с помощью полигона и гистограммы. Целесообразно свести эмпирическое распределение к теоретическому, к одному из хорошо изученных виду.

Кривая нормального распределения.

Различают следующие разновидности кривых распределения:

одновершинные много вершинные

Для однородных совокупностей характерны одновершинные кривые, много вершинная кривая говорит о неоднородности совокупности и необходимости перегруппировки.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, и расчет асимметрии и эксцесса. Для симметричных распределений

Для сравнительного изучения асимметрии различных распределений вычисляется коэффициент асимметрии As.

где

 - центральный момент третьего порядка;  - СКО в кубе;

Если , то асимметрия значительная

Если As<0, то As – левосторонняя, если As>0, то As – правосторонняя.

Если , то As незначительная. Для симметричных и умеренно асимметричных рассчитывается показатель эксцесса: , если Е_к>0, то распределение островершинное, если E_k<0, то распределение плосковершинное.

§8.

Вариация альтернативного признака количественно проявляется следующим образом.

0 – единицы не обладающие данным признаком;

1 – единицы обладающие данным признаком;

Пусть:

р – доля единиц обладающих данным признаком;

q – доля единиц не обладающих данным признаком;

тогда p+q=1.

Альтернативный признак принимает 2 значения 0 и 1 с весами p и q.

;

Прямые признаки – это такие признаки, величина которых увеличивается с увеличением исследуемого явления.

Обратные признаки – признаки, величина которых уменьшается с увеличением исследуемого явления.

Максимальная дисперсия доли равна 0,25.

Тема 6: Моделирование рядов распределения.

§1. Фактическое и теоретическое распределение

§2. Кривая нормального распределения.

§3. Проверка гипотезы о нормальном распределении.

§4. Критерии согласия: Пирсона, Романовского, Колмогорова.

§5. Практическое значение моделирования рядов распределения.

§1. Фактическое и теоретическое распределение

Одна из важнейших целей изучения рядов распределения состоит в том, чтобы выявить закономерность распределения и определить ее характер. Закономерности распределения наиболее отчетливо проявляются только при большом количестве наблюдений.

Фактическое распределение может быть изображено графически с помощью кривой распределения – графически изображается в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду функционально связанного с изменением варианта.

Под теоретической кривой распределения понимается кривая данного типа распределения в общем виде исключающего влияние случайных для закономерности факторов.

Теоретическое распределение может быть выражено аналитической формулой которая называется аналитической формулой. Наиболее распространенным является нормальное распространение.

§2. Кривая нормального распределения.

Закон нормального распределения:

;

у – ордината нормального распределения

t – нормированное отклонение.

; е=2,7218; x_i– варианты вариационного ряда;  - среднее;

Свойства:

Функция нормального распределения – четная, т.е. f(t)=f(-t), . Функция нормального распределения полностью определяется  и СКО.

§3. Проверка гипотезы о нормальном распределении.

Причиной частого обращения к закону распределения является то, что зависимость возникающая в результате действия множества случайных причин ни одна из которых не является преобладающей. Если в вариационном ряду рассчитали Мо=Ме, то это может указывать на близость к нормальному распределению. Наиболее точная проверка соответствия нормальному закону производится с помощью специальных критериев.

§4. Критерии согласия: Пирсона, Романовского, Колмогорова.

Критерий Пирсона.

- теоретическая частота

- эмпирическая частота

Методика расчета теоретических частот.

Определяется среднее арифметическое и  по интервальному вариационному ряду, считается t по каждому интервалу. Находим значение плотности вероятности для нормированного закона распределения. СТР.49 Находим теоретическую частоту.

l – длина интервала

 - сумма эмпирических частот

- плотность вероятности

округлить значение до целых

4.    Расчет коэффициента Пирсона

5.    табличное значение

d.f. – количество интервалов – 3

d.f. – количество степеней свободы.

6.    если >, то распределение не является нормальным, т.е. гипотеза о нормальном распределении отменяется. Если <, то распределение является нормальным.

Критерий Романовского.

 - критерий Пирсона расчетный;

- число степеней.

Если С<3, то распределение близко к нормальному.

Критерий Колмогорова

, D – максимальное значение между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами. Необходимое условие для использования Колмогорова: Число наблюдений более 100. По специальной таблице вероятностей  с которой можно утверждать, что данное распределение является нормальным.

§5. Практическое значение моделирования рядов распределения.