Навигация
Как писать математические тексты
79026
знаков
1
таблица
0
изображений
П. Р. Халмош
0. Предисловие. Это — субъективно написанный очерк с обманчивым названием; вернее было бы назвать его как я пишу математические тексты. Он возник в связи с одной комиссией Американского математического общества, в которой мне пришлось недолгое время работать, но скоро превратился в увлекательное частное предприятие. Пытаясь поставить его под контроль, я обратился с просьбой к нескольким друзьям прочитать эту работу и высказать свою критику. Критические замечания были великолепны; резкие, честные и конструктивные, они противоречили друг другу. «Мало конкретных примеров», — говорил один. «Не соглашайтесь увеличивать число примеров», — говорил другой. «Уж очень длинно», — говорил один. «Может, написать побольше», — говорил другой. «Существуют, — говорил один, — традиционные (и эффективные) методы сведения к минимуму утомительности длинных доказательств, например, подразделение их на серию лемм». «Что выводит меня из себя, — говорил другой, — так это привычка, особенно у новичков, представлять доказательство в виде длинного ряда тщательно сформулированных и смертельно скучных лемм».
Лишь в одном соглашалось большинство моих советчиков: писать такой очерк — заведомо неблагодарная работа. Советчик 1: «Сделав свою вторую работу, любой математик убежден, что уже знает, как писать статьи, и с раздражением реагирует на советы». Советчик 2: «По-моему, все мы в глубине души уверены, что могли бы отлично писать, если бы только постарались. Даже те, кто придерживаются очень скромного мнения о своих математических способностях, выходят из себя, если усомниться в их литературном даровании». Советчик 3 воспользовался самым суровым языком; он предупредил меня о том, что так как я наверняка не смогу проявить значительную интеллектуальную глубину в обсуждении вопроса о технике написания текстов, мне не следует удивляться «насмешкам, которые Вы сможете снискать у некоторых из наших высокомерных коллег».
Мои советчики — маститые, хорошо известные математики. Если бы я назвал здесь их имена, это ничего не прибавило бы к их научной репутации; с другой стороны, я мог неверно их понять и не так применить их советы, что могло бы вызвать досаду и смущение этих людей. Вот почему я решился на непринятый в науке прием безимённых цитат и выражения благодарностей без адреса. От этого моя благодарность не стала меньше, как и не уменьшилось желание признать, что без их помощи этот очерк был бы хуже.
«Hier stehe ich, ich kann nicht anders» 2.
1. Верный способ хорошо писать, которого не существует. Я думаю что мог бы кое-кому рассказать о том, как писать, но кто захотел бы это слушать? Способность к эффективной передаче информации, власть быть понятным — вещи, по-моему, врожденные, или, во всяком случае, столь рано приобретаемые, что чтение моих размышлений на означенный предмет, вероятно, ни на кого уже не сможет повлиять. Нельзя научиться понимать силлогизм — вы либо рождаетесь с такой способностью либо без нее. Точно так же нельзя научить умению эффективно объяснять: один обладает им, другой — нет. Верного способа хорошо писать не существует.
Зачем же продолжать? Ну, я немного надеюсь на то, что сказанное мной не совсем верно, и уж во всяком случае хочу попытать счастья и добиться того, чего, быть может, и нельзя добиться. Причина более прозаическая состоит в том, что в других областях, требующих природного таланта, даже одаренные люди, родившиеся с ним, обычно не рождаются со знанием всех тонкостей профессии. Несколько таких очерков, как этот, могли бы способствовать «напоминанию» (в смысле Платона) 3 тем, кто хочет и кому суждено излагать математику будущего, той техники, которую нашли полезной авторы прошлого.
Основная проблема, возникающая при написании математических текстов,- та же, что и при написании текстов по биологии, при сочинении романа или. инструкции по сборке клавикордов: это — проблема сообщения идеи. Чтобы сообщить ее, и сообщить ясно, вы должны иметь нечто, что хотели бы сказать, и иметь кого-нибудь, кому это сказать; вы должны организовать то, что собираетесь сказать, вы должны привести это в тот порядок, в котором хотите говорить, вы должны это написать, переписать и еще несколько раз переписать, и вы должны крепко подумать и много поработать над такими техническими деталями, как стиль, обозначения, пунктуация. Вот и все.
2. Говорите нечто определенное. Может показаться излишним настаивать на том, что для того, чтобы хорошо что-нибудь сказать, нужно иметь, чтó сказать; однако, это не шутка. Масса плохой математической и всякой другой литературы плоха тем, что грубо нарушает это первейшее правило. Последовательность расходится лишь в двух случаях: либо у нее нет ни одной предельной точки, либо их слишком много. Точно так же беспредметный текст может получиться либо при полном отсутствии идей либо при их чрезмерном количестве.
Первую болезнь подхватить труднее. Тяжело написать много слов ни о чем, особенно в математике, но сделать это можно и результат наверняка окажется трудным для чтения. Имеется классическая вздорная книга Карла Теодора Хэйзеля [5], способная служить примером тому. Она полна правильно написанных слов, составляющих грамматические корректные предложения, но заглядывая в нее время от времени вот уже тридцать лет, я ни разу не смог прочесть в ней подряд двух страниц и в одном абзаце резюмировать их содержание. Я думаю, это потому, что там нет никакого содержания.
Вторая болезнь распространена очень широко; многие книги погублены желанием автора сказать слишком многое. Преподаватели элементарной математики в США нередко жалуются на то, что все курсы анализа плохи. Так оно и есть. Книги по анализу плохи потому, что математического анализа, как предмета, не существует. Это — не предмет, а множество предметов. Что сегодня мы называем анализом? Немного логики и теории множеств, доля аксиоматической теории полных упорядоченных полей, аналитической геометрии и топологии, причем последней как в «общем» смысле (пределы и непрерывные функции), так и в алгебраическом (ориентация); к этому нужно еще добавить собственно теорию функций действительного переменного (дифференцирование), оперирование комбинаторными символами, называемое формальным интегрированием, азы теории меры в низшей размерности, кое-что из дифференциальной геометрии, основы классического анализа тригонометрических, показательных и логарифмических функций; наконец, в зависимости от объема книги и наклонностей автора, домашняя стряпня из дифференциальных уравнений, элементарная механика и приложения в небольшом ассортименте. По каждому из этих предметов нелегко написать хорошую книгу; смешать же их невозможно.
Маленькая жемчужина, которую представляет собой доказательство Нельсона теоремы о постоянстве ограниченной гармонической функции [7], и монументальный трактат Данфорда и Шварца по функциональному анализу [3] доставляют примеры математических сочинений, которым есть что сказать. Работа Нельсона занимает меньше, чем полстраницы, а книга Данфорда–Шварца в четыре тысячи с лишним раз длиннее ее; однако, в обоих случаях ясно, что авторы твердо знали, что хотели сказать. Предмет существует и очерчен четко; он ловко скроен и крепко сшит — есть о чем говорить.
Говорить нечто определенное — это, безусловно, важнейшая составная часть хорошего изложения; ведь чем важнее идея, тем больше шансов на бессмертие у работы, даже если материал подан запутанно и организован плохо. Доказательство Биркгофа эргодической теоремы [1] запутано почти до предела, а «последнее письмо» Ванцетти [9] написано сбивчиво и неуклюже; но наверняка всякий, кто читал их, благодарен тому, что они написаны. Однако ограничиться соблюдением только этого принципа удается редко, и это всегда нежелательно.
3. Говорите, обращаясь к кому-нибудь определенному. Второй принцип хорошего изложения — обращаться к определенному слушателю. Решаясь что-либо написать, спросите себя, кому бы вы хотели это адресовать? Пишете ли вы заметку, предназначенную только для себя, или письмо другу? Научное сообщение для специалистов или учебник для студентов последнего курса? По существу, трудности во всех случаях одинаковы. Меняется количество необходимых мотивировок, уровень неформальности, который вы можете себе позволить, степень скрупулезности в деталях и число повторений. Читатели влияют на все, что пишется, но уж когда читатели выбраны задача автора — войти в контакт с ними настолько тесный, насколько это возможно.
Издатели знают, что двадцать пять лет для большинства математических книг — возраст почтенно старый; научные статьи отживают, в среднем (предположительно) через пять лет. (Разумеется, могут быть полные жизни пятидесятилетние статьи и книги, умирающие пяти лет от роду.) Конечно, математическое сочинение слишком эфемерно, чтобы быть долговечным, но если вы хотите донести свою работу до сегодняшней аудитории, писать ее надо так, как если бы это делалось на века.
Я люблю представлять свою аудиторию не только в неопределенном общем плане (например, профессиональные топологи или студенты-второкурсники), но и очень конкретно, лично. Мне помогает, когда я думаю о некотором определенном человеке, с которым, быть может, два года назад я обсуждал эту тему, или о нарочно притворившемся непонятливым друге-коллеге, которому я мысленно втолковываю то, о чем пишу. Например, в этом очерке я рассчитываю пронять молодых студентов-математиков, которые вот-вот начнут делать диссертации, но в то же время мысленно кошусь на одного коллегу, чьи манеры еще могут исправиться. Конечно, я надеюсь, что (а) он переймет мои манеры, но (б) не обидится, когда осознает, что я пишу для него.
Есть свои преимущества и недостатки в обращении к очень точно определенной аудитории. Чтение чужих мыслей, без которого не обойтись, сильно облегчается — это большое преимущество; однако появляется соблазн ввязаться в бесцельную полемику или тяжеловесно острить «для своих». Это — недостаток. Наверняка всякому ясно, почему это — недостаток. Избегайте его. Преимущество же заслуживает дальнейшего рассмотрения.
Долг автора — предвидеть затруднения читателя и избавлять его от них. Во время работы ему следует постоянно пытаться представить себе, какие из написанных слов могут ввести читателя в заблуждение, и какие ориентируют его верно. Позднее я приведу один-два примера по этому поводу; сейчас же мне хочется подчеркнуть, что представлять определенного читателя не только полезно в этой части писательской работы, но и жизненно важно.
Быть может, это и так ясно, но все-таки невредно отметить, что аудитория, к которой в действительности окажется адресованной работа, может значительно отличаться от предполагаемой. Нет ничего, что гарантировало бы удачный выбор цели. И несмотря на это, еще раз повторяю: лучше иметь определенную цель и при этом попасть во что-нибудь другое, чем иметь цель слабо определенную и чересчур широко очерченную и не иметь шансов попасть во что бы то ни было. К плечу, целься, пли! И авось вы поразите мишень — хорошо, если ту, в которую вы целились, а если не ту, — то все равно это лучше, чем слать пули в молоко.
4. Сначала организуйте материал. Главное, что может сделать автор научного текста, состоит в такой организации и такой подаче материала, при которых сводится к минимуму сопротивляемость читателя, максимально возбуждается его интуиция, и он идет по верному пути, не отвлекаясь без нужды. Чем, в конце концов, книга лучше кипы препринтов? Ответ: умелой и приятной подачей материала, акцентами в нужных местах, выявлением внутренних связей, описанием примеров и контрпримеров, на которых основана теория; одним словом, — организацией материала.
Открыватель идеи, который, конечно, может быть и автором статьи о ней, наткнулся на нее вслепую, почти случайно. Если бы не существовало способа привести все это в порядок, причесать и пригладить открытие, то не было бы никакой возможности извлекать пользу из «стояния на плечах гигантов» и не было бы времени изучить что-либо новое, неизвестное предыдущему поколению.
Как только вы уяснили, что и кому хотите сказать, приступайте к следующему этапу: сделайте набросок. По моему опыту это, как правило, невозможно. Идеал состоит в том, чтобы сделать набросок, где упоминается каждое предварительное эвристическое рассуждение, каждая лемма, каждая теорема, каждое следствие, каждое замечание, каждое доказательство и в котором все эти части появляются в логически корректном и психологически легко усваиваемом порядке. При идеальном подборе материала всему находится место и все находится на месте. Внимание читателя удерживается тем, что ему заранее сказали, чего ожидать; одновременно, в видимом противоречии с этим, происходят приятные неожиданности, которых нельзя было предвидеть на основе бесплотных определений. В хорошем наброске все детали подогнаны, леммы появляются там, где они нужны, хорошо видны внутренние связи между теоремами. Набросок показывает, где это разместить.
Я делаю небольшое и, возможно, несущественное различие между организацией материала и его подачей. Организовать материал — это значит решить, какие заголовки будут у глав и параграфов, что будет в этих главах и как они будут связаны. Схема организации материала представляет собой некий граф, очень может быть, что дерево, но, почти наверняка, не цепь. Существует масса способов организовать те или иные материалы и, как правило, есть много способов преподнести читателю результаты каждой такой организации в линейном порядке. Организация материала — вещь более важная, чем его подача, но последняя часто имеет психологическое значение.
Один из самых заслуженных комплиментов автору, которые я когда-либо высказывал, возник из моей неудачи: я провалил курс лекций по его книге. Началось это вот с чего: мне не понравился один параграф, и я его пропустил. Тремя разделами позже мне понадобился небольшой кусочек из самого конца опущенного параграфа; однако нетрудно было дать другое доказательство. Такое случилось еще разок-другой, но всякий раз немного изобретательности и несколько понятий с потолка позволяли залатать брешь. Но вот в следующей главе появилось место, для которого требовались не фрагменты опущенного раздела, а то обстоятельство, что его результаты были приложимы к двум ситуациям, на первый взгляд совершенно различным. Оказалось почти невозможно наскоро заделать пробоину; после этого быстро воцарился хаос. Настолько плотно подогнанной была эта книга: все, что было включено в нее, включалось по необходимости; материал подавался в ней во взаимосогласованности своих частей, что облегчало чтение и понимание. Однако скрепы, соединявшие все в единое целое, не бросались в глаза; они становились заметными только после вторжения в структуру той или иной части.
Даже самые неорганизованные авторы делают грубый набросок будущей книги, возможно, и не записывая его; в конце концов, тема сама по себе является наброском в одно слово. Если вы знаете, что будете писать о теории меры, то у вас есть набросок в два слова, а это уже кое-что. Пробный набросок по главам еще лучше. Он может выглядеть так: я расскажу им о множествах, потом — о мерах, потом — о функциях, потом — об интегралах. На этой стадии вы захотите принять кое-какие решения, которые, однако, позднее можно и отменить. Например, вы можете решить, что опустите теорию вероятностей, но включите меру Хаара.
В некотором смысле подготовка наброска может занять годы, или, по крайней мере, много недель. Что касается меня, то обычно между первым радостным моментом, когда я задумываю написать книгу, и первым мучительным моментом, когда я сажусь и начинаю это делать, лежит долгий промежуток. Во время повседневной работы ради насущного хлеба с маслом я мечтаю о новом замысле, и когда по этому поводу приходят идеи, я записываю их на разрозненных листочках бумаги и складываю, как попало, в папку. «Идея» здесь может означать название области математики, которую, по моим ощущениям, следует включить, или же выбор буквы для некоторого обозначения; ею может быть доказательство, выразительное слово или острота, которая, я надеюсь, не окажется пошлой, а оживит, подчеркнет и проиллюстрирует то, что я хочу сказать. Когда же наступает тот самый мучительный момент, у меня, во всяком случае, есть та самая папка. Раскладывание пасьянса из клочков бумаги может оказать большую помощь в подготовке наброска.
При организации текста вопрос о том, что опустить, едва ли не важнее, чем вопрос о том, что включить. Изобилие деталей может так же обескураживать, как и их отсутствие. Расстановка всех точек над всеми i, как это принято в старомодных Cours d'Analyse — вообще, и в курсе Бурбаки — в частности, удовлетворяет лишь автора, который этот курс все равно понимает, да беспомощно слабого студента, который никогда его не поймет. Для более вдумчивых читателей такие вещи более чем бесполезны. Сердце математики состоит из конкретных примеров и конкретных проблем. Большие общие теории появляются обычно после обдумывания маленьких, но глубоких суждений; сами же суждения начинаются с проникновения в конкретные частные случаи. Мораль: лучше всего расположить материал вашей работы вокруг центральных, решающих примеров и контрпримеров. Если какое-нибудь доказательство устанавливает немножко больше, чем то, ради чего оно изобреталось, обычно это можно оставить читателю. Где читателю действительно нужно опытное руководство, так это в обнаружении тех вещей, которых имеющиеся доказательства не доказывают: каковы подходящие к данному случаю контрпример и куда плыть дальше?
5. Подумайте об алфавите. Когда у вас появился план расположения материала, какой-нибудь набросок, может и не блестящий, но лучшее, что вы смогли" сделать, — вы почти готовы начать писать. Единственное, что я еще порекомендовал бы сделать до этого: потратьте часок-другой на размышления об алфавите; позднее это спасет вас от многих страданий.
Буквы, которые вы используете для обозначения обсуждаемых понятий, заслуживают тщательных предварительных размышлений. Хорошая, последовательная система обозначений может быть чрезвычайно полезна, и я призываю (авторов статей, но особенно — авторов книг) решать вопрос о ней с самого начала. Лично я делаю огромные таблицы с многочисленными алфавитами и шрифтами, строчными и прописными, и пытаюсь представить себе все пространства, группы, векторы, функции, точки, поверхности, меры и все остальное, что раньше или позже придется окрестить. Плохая система обозначений может сделать хорошее изложение плохим, а плохое — еще ухудшить; решения об обозначениях, принимаемые наспех посреди фразы, почти наверняка будут плохими.
Хорошая система обозначений обладает своеобразной алфавитной гармонией и уклоняется от диссонансов. Пример: ах+bу или а1x1+a2x2 лучше, чем аx1+bx2. Или: если вам приходится использовать символ S для обозначения множества индексов, убедитесь, что вы не влипните в SsÎS as . Предостережение в том же стиле: вероятно, многие читатели не заметят, что вы использовали символ |z|<e вверху страницы, а внизу — символ zeU, однако, это — почти диссонанс, из-за которого читателя охватывает смутное, нелокализованное чувство неудобства. Лекарство — простое, и уже почти общепринятое: символ Î сохраняется для выражения принадлежности элемента множеству, а e — для всего остального.
Математике доступен потенциально бесконечный алфавит (например, x, x´, x´´, x´´´, …); однако, на практике используется только небольшая его часть. Одна причина этого явления заключается в том, что человеческая способность различать символы ограничена намного сильнее, чем способность изобретать новые. Другой причиной является дурная склонность к замороженным буквам. Какой-нибудь старомодный аналитик будет говорить «xyz-пространство», подразумевая, как мне думается, 3-мерное евклидово пространство, плюс соглашение о том, что точка этого пространства всегда будет обозначаться через (x, y, z). Это — плохо; это «замораживает» букву x, и букву y, и букву z, и мешает обозначать ими что-нибудь другое; в то же время оказывается невозможным (или, во всяком случае, непоследовательным) использовать, скажем, символ (a, b, c) после изнуренного многократным применением символа (x, y, z). Имеются и современные варианты этой привычки; они не лучше. Пример: матрицы «со свойством L» — замороженное и невыразительное обозначение.
Существуют и другие неуклюжие и не помогающие воображению способы употребления букв; вот примеры: «CW-комплексы», «CCR-группы». Курьез, доставляющий вероятно, верхнюю границу во множестве бесполезных использовании букв, встречается в книге Лефшетца [6]. Символ xip обозначает там цепь размерности р (нижний значок, таким образом, — это индекс), тогда как через xpi обозначается коцепь размерности р (так что индекс здесь — это верхний значок).
Вопрос: что такое x32?
С течением времени все больше и больше букв оказываются замороженными. Стандартные примеры: е, i, p и, конечно, 0, 1, 2, 3, … (Кто осмелится написать: «Пусть 6 — некоторая группа»?) Несколько других букв — почти заморозились: многие читатели почувствовали бы обиду, если бы n обозначало комплексное число, e — положительное целое число, z — топологическое пространство. (Кошмар математика: последовательность ne, стремящаяся к 0, когда e стремится к бесконечности.)
Мораль: не вносите своего вклада в косность. Думайте об алфавите. Это скучновато, но результат того стоит. Чтобы спасти время и уберечься от волнений в дальнейшем, подумайте с часок над алфавитом теперь; после этого начинайте писать.
6. Пишите по спирали. Лучший и, возможно, единственный способ писать — писать по спирали. Это означает, что главы пишутся и переписываются в следующем порядке: 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4 и т.д. Скажем, вы полагаете, что вам уже известно, как писать главу 1; но после того, как вы это сделали и перешли к главе 2, вам стало ясно, что глава 2 могла бы быть лучше, если бы глава 1 была сделана иначе. Ничего не поделаешь — возвращайтесь назад, напишите ее по-другому, улучшите главу 2 и затем — с богом в главу 3. И, конечно, вы уже знаете, что произойдет дальше: глава 3 обнаружит слабость первой и второй глав; ничего не поделаешь — и т.д. и т.д. и т.д. Такова почти очевидная и зачастую неизбежная идея, но она помогает будущему автору осознать заранее, с чем он столкнется, учесть, что то же явление будет встречаться не только на уровне глав, но и на уровне параграфов, абзацев, фраз и даже слов.
Первым шагом в процессе написания и многократного переписывания книги является написание само по себе. Если есть тема, аудитория, набросок (и, не забудьте! алфавит), начинайте писать книгу и ничто да не остановит вас. Ничто так не вдохновляет написать хорошую книгу, как плохая книга. Когда у вас в руках первый эскиз книги, написанный по спирали, нацеленный на некоторую аудиторию и подкрепленный таким подробным наброском, какой вам оказался по силам, ваша книга более чем наполовину готова.
Спиральный план ответствен за бóльшую часть работы по многократному переписыванию, но не за всю работу. В первом наброске каждой главы изливайте душу, пишите быстро, забыв о правилах, с ненавистью или с гордостью, будьте бессвязным, «странным», — если это вам нужно, — неясным, неграмотным, но только не отрывайтесь от работы. Однако когда возникает нужда в следующем варианте, все равно, в который раз, — не редактируйте то, что уже готово, — пишите заново. Соблазнительно воспользоваться красным карандашом для указания вставок, вычеркиваний и перестановок; в моей практике, однако, это приводит к катастрофическим ошибкам. Против человеческой нетерпеливости и общераспространенной склонности к собственным словам красный карандаш — слишком ненадежное оружие. Итак, вы смотрите на первый эскиз, который любой читатель — только не вы — найдет невыносимым; вы должны безжалостно править и вычеркивать. Переписать — это значит написать заново каждое слово.
Я не хочу сказать, что в книге из десяти глав первую главу следует переписать десятикратно, но три-четыре раза — наверняка. Скорее всего, главу 1 придется переписать буквально заново, едва закончив главу 2 и, очень может быть, еще хоть раз где-то после главы 4. Десятую главу, к счастью, вам придется переписать лишь однажды.
Моя собственная практика может дать вам представление об общем количестве переписываний, о которых идет сейчас речь. После написанного по спирали первого наброска я обычно переписываю всю книгу, а потом добавляю необходимый для читателя вспомогательный аппарат (список предварительных требований, предисловие, алфавитный указатель и оглавление — это уже машинальная работа). Затем я переписываю все вновь, на этот раз на пишущей машинке или, во всяком случае, настолько аккуратно и красиво, чтобы машинистка без математического образования могла без затруднений использовать этот вариант (третий, в некотором смысле) для подготовки «окончательной» машинописной рукописи. Переписывание на третьем заходе минимально; оно обычно ограничивается изменениями отдельных слов, или, в худшем случае, отдельных фраз. Третий вариант — это первый вариант, который видят другие. Я прошу друзей прочитать его, его читает моя жена, мои студенты могут читать отдельные его части, и — это лучше всего! — студент младшего курса, побуждаемый к хорошей работе приличной оплатой, приглашается быть безжалостным критиком написанного.
Изменения, в которых возникает необходимость после третьего варианта, если повезет, можно вносить красным карандашом; если не повезет, треть страниц из-за этого нужно будет перепечатать. «Окончательная» машинописная рукопись основана на отредактированном третьем варианте и, после того как она готова, ее читают и правят, и правят заново. Приблизительно через два года после начала работы (два рабочих года! Они могут быть намного длиннее двух календарных лет...) книга отсылается в издательство. Потом начинаются новые трудовые муки; однако это уже совсем другая история.
Архимед научил нас, что много раз понемногу — это много (говоря языком пословицы, капля камень долбит). Я убежден, что когда выполняется какая-нибудь большая работа, в частности, пишется книга, верно и обращение этого архимедова принципа: единственный способ написать большую книгу — писать понемножку, но с неослабевающим упорством каждый день без исключения, без отпуска. Хороший способ сохранять производительность труда — заканчивать каждый день, заправившись горючим на завтра. С чего вы начнете завтра? Что будет в следующем параграфе? Как его назвать? (Я рекомендовал бы подыскивать возможно короткие названия для каждого раздела до или после того как он написан; даже если вы не собираетесь печатать названия разделов. Цель такого занятия — в проверке того, насколько хорошо спланирован параграф: если вы не можете его озаглавить, возможно, он не имеет единого, цельного сюжета.) Иногда первую завтрашнюю фразу я записываю сегодня; некоторые авторы начинают сегодняшнюю работу проверкой и переписыванием вчерашней последней страницы. Во всяком случае, заканчивайте каждую порцию работы на подъеме, а между порциями давайте своему подсознанию какую-нибудь солидную пищу. Поразительно, как эффективно удается перехитрить себя таким способом; техника подготовки достаточна для преодоления естественного человеческого отвращения к творческой работе.
7. Занимайтесь расположением материала постоянно. Даже в том случае, если исходный план расположения материала в вашей книге разработан до мелочей и хорош (и, особенно, если это не так), важнейшая забота о порядке изложения не ослабевает и после того как вы начали писать; она сохраняется, пока вы пишете книгу и даже после.
Спиральный план написания и спиральный план выбора расположения материала идут рука об руку; последний часто (а может быть и всегда) приложим к математическим сочинениям. Происходит это так. Вы начинаете с чего-то, что избрали своим основным понятием, скажем, векторных пространств, — и действуете по всем правилам: даете мотивировки, определение, примеры и контрпримеры. Таков параграф 1. Во втором параграфе вы вводите первое, связанное с основным, понятие, которое вы собираетесь изучать, скажем, — линейную зависимость, и опять действуете по всем правилам: даете мотивировки, определение, примеры и контрпримеры, а потом — и вот здесь-то самое главное — вы пересматриваете настолько подробно, насколько можете, параграф 1 с точки зрения параграфа 2. Ну, скажем, какие примеры линейно зависимых и независимых множеств легко получаются из примеров векторных пространств, введенных в §1? (Здесь, между прочим, возникает другая понятная причина, по которой писать приходится по спирали: во втором параграфе вам могут прийти в голову примеры линейно зависимых и независимых множеств в тех векторных пространствах, которые вы забыли преподнести в качестве примеров в §1). В третьем параграфе вы вводите следующее понятие (какое именно — следовало тщательно обдумать раньше, но чаще им оказывается то, чего требует крутой поворот мысли, — это опять-таки подтверждает необходимость писать спирально) и после его обычной обработки пересматриваете §1 и §2 с точки зрения нового понятия. Система работает чудесно! Делать это — легко, весело, а результат — приятно читать: читателю помогают крепко сработанные вами строительные леса, даже если он не рвется сам осмотреть опоры и прощупать стыки.
Фабулы и повороты сюжета исторических романов, улики и намеки детективных рассказов — все это имеет свои математические аналогии. Поясним примером: многое из теории метрических пространств могло бы быть развито как «подсюжет» в какой-нибудь книге по общей топологии в виде скромных замечаний, заключенных в скобки фраз и иллюстративных упражнений. Такая организация материала в противовес неумолимой общности дала бы читателю прочные обоснованные мотивировки и более глубокое понимание без видимых дополнительных усилий. А вот пример по поводу детективных намеков: единственное слово, впервые упомянутое за несколько глав до своего определения, а потом повторяемое со все более пространными комментариями по мере того, как приближается его формальное представление, может незаметно и подсознательно подготовить восприятие. Такая процедура может серьезно помочь читателю. В то же время и значительно облегчить формальную работу автора, которому, правда, придется сильно увеличить усилия мысли, затрачиваемые на организацию неформального текста. Игра стоит свеч. Если вы работаете восемь часов, чтобы спасти пять минут читательского времени, то вы сберегаете более восьмидесяти человеко-часов на каждую тысячу читателей, и ваше имя будет благословенно во многих факультетских коридорах. Но не забывайте: для эффективного использования подсюжетов и намеков необходимо нечто очень похожее на спиральный план организации.
Последний по порядку и важности, но все равно очень важный аспект, который стоит упомянуть здесь, состоит в правильной подаче математического текста с чисто логической точки зрения. Немногому здесь один математик может научить другого; следует лишь предупредить о том, что с увеличением размеров работы ее сложность растет в устрашающей пропорции. Однажды я писал книжку страниц на 300; на одном из этапов работы у меня оказалось 1000 листов бумаги с каким-нибудь математическим утверждением на каждом: с теоремой, леммой или даже второстепенным замечанием, и все это с полными доказательствами. Листы были перенумерованы как попало. Моя забота состояла в указании на каждом из них номеров листов с теми утверждениями, которые логически должны были предшествовать данному; после этого я располагал листы в линейном порядке так, чтобы ни один из них не следовал за тем, на котором упоминался. По-видимому, эта проблема имеет несчетное множество решений; трудность состояла в том, чтобы выбрать из них наиболее эффективное и приятное.
Похожие работы
... -педагогическая или научно-техническая проблема, являющаяся новым научным вкладом в теорию определенной области знаний (педагогику, технику и другие). 4. ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ БАКАЛАВРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРОФИЛЬ ИНФОРМАТИКА 4.1. Положение о выпускной квалификационной работе бакалавра физико-математического образования: ...
... двадцати томов. Гегель — последний философ, попытавшийся обобщить в собственной философии все знания, все науки, существовавшие в его эпоху. Он построил грандиозную философскую систему, которая включала в себя логику, этику, эстетику, философию природы, философию духа, философию истории, философию права, философию религии, историю философии. Сущностью мира для Гегеля является мировой разум, ...
... + C_{n-1}^{k-1}$[/math] 3. Постановка задачи Передо мной была поставлена задача: создать решение проблемы отображения математических и других формул для форума физико-математического факультета Орловского государственного университета, используя установленный форумный движок phpBB3, издательскую систему TeX, пакет расширений LaTeX и пакет для обработки графических файлов ImageMagick. ...
... выборок. 5. Исследовательские проекты и их защита. 3 2 1 2 2 2 1 1 1 3 2 1 2 2 Всего 10 5 10 Итого 60 34 Глава 2 Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы 2.1. Организация при формировании пространственного образа, c использованием ...
0 комментариев