Повторяйтесь и не повторяйтесь. Одно важное правило хорошего математического стиля требует повторений, а другое — требует избегать их

11. Повторяйтесь и не повторяйтесь. Одно важное правило хорошего математического стиля требует повторений, а другое — требует избегать их.

Под повторением в первом правиле я подразумеваю не произнесение одной и той же вещи несколько раз с помощью разных слов. Я имею ввиду дословное повторение фразы или даже нескольких фраз в изложении такого точного предмета, как математика, с той целью, чтобы подчеркнуть небольшие изменения в соседнем предложении. Если вы что-то определили, сформулировали или доказали в главе 1, а в главе 2 хотите заняться параллельной или более общей теорией, то вы очень поможете читателю, повторяя те же слова и в том же порядке, пока это возможно; только после этого, под приличествующий барабанный бой, введите новшество. Барабанный бой необходим. Недостаточно перечислить шесть прилагательных в одном предложении, а в другом просто повторить пять из них, слегка ослабив шестое. Сверх этого нужно еще сказать: «Обратите внимание на то, что первые пять условий в определениях p и q одинаковы; различие между p и q заключено в ослаблении шестого условия».

Зачастую для того, чтобы поступить так в главе 2, вам придется вернуться к главе 1 и переписать в ней то, что вам казалось написанным уже достаточно хорошо, — на этот раз для подчеркивания параллелизма с соответствующей частью главы 2. Это, кстати, другая иллюстрация неизбежности спирального плана при сочинении, и другой аспект организации материала.

В предыдущих абзацах описывалась важная разновидность математического повторения — полезная; вот две другие — вредные.

Одна из причин, по которой повторение часто рассматривается как прием эффективного обучения, заключается в следующем: предполагается, что чем чаще вы повторяете одно и то же, тем более вероятно, что вы втолкуете сим материал. Я не согласен. Когда вы что-нибудь повторяете во второй раз, даже самый тупой читатель смутно припомнит, что ведь был и первый раз, и начнет спрашивать себя, то ли это самое, что уже было, или только похожее. (Тут может помочь фраза вроде: «Сейчас я говорю в точности то же самое, что впервые сказал на стр. 3».) Если хоть тень такого недоумения появляется, это плохо. Все то плохо, что без необходимости настораживает, развлекает по пустякам или каким-нибудь другим способом отвлекает внимание. (Нечаянные двусмысленности — проклятие многих авторов.) Кроме того, хорошая организация материала и, в частности, спиральный план, о котором речь шла выше, заменяют повторения гораздо эффективнее.

Вторая разновидность вредных повторений описана в короткой и лишь отчасти неточной заповеди: никогда не повторяйте доказательство. Если некоторые шаги в доказательстве теоремы 2 очень похожи на некоторые части доказательства теоремы 1, то это сигнал недопонимания. Вот другие симптомы этой болезни: «С помощью той же техники (того же метода, приема), которая применялась (или который использовался) в доказательстве теоремы 1...»; еще хуже: «См. доказательство теоремы 1». Когда случается такая вещь, то очень может быть, что на самом деле существует лемма, из которой с большой легкостью и ясностью выводятся обе теоремы; такую лемму стоит поискать, сформулировать и доказать.

12. Книжное «мы» не всегда плохо. Начинающих авторов часто беспокоит выбор между «я», «мы» и безличными формулировками. В случаях, подобных этому, здравый смысл важнее всего. По причинам целесообразности я выскажу здесь свои рекомендации.

Поскольку лучший стиль — наименее навязчивый, я склоняюсь к нейтральным оборотам. Но это не означает, что нужно один из них использовать чаще других или, того хуже, всегда. (Фразы типа: «итак, установлено, что...» ужасны.) Это означает полное отсутствие личных местоимений первого лица как в единственном, так и во множественном числе. «Так как имеет место р, q также справедливо...». «Из этого следует p». «Применение p к q дает r». Почти все (все?) математические сочинения — информативны (или должны быть такими?); простые повествовательные предложения — лучшее средство для сообщения фактов.

Иногда эффективно и желательно использование повелительного наклонения. «Чтобы найти р, умножьте q на r». «При данном р приравняйте q и r». (Два отступления по поводу «Дано». (1) Не употребляйте это слово, когда оно ничего не обозначает. Например: «Для любого данного р существует q». (2) Помните, что оно происходит от активного глагола и не любит болтаться просто так. Пример: не «если дано p, то существует q», а «для данного p найдем q».)

Нет ничего худого в книжном «мы», но, если оно вам нравится, пользуйтесь им правильно. Пусть «мы» означает «автор и читатель» (или «лектор и аудитория»). Вы можете благополучно сказать «Используя лемму 2, мы можем обобщить теорему 1» или «Лемма 3 дает нам технику доказательства теоремы 4». Но не годятся утверждения вроде: «Мы получили этот результат в 1969 году» (если только это не будет голосом двух или более авторов, говорящих в унисон), или «Мы благодарим нашу жену за помощь при перепечатке рукописи».

Местоимение «я» и, особенно, его неизменное повторение, порой производит отталкивающий эффект, как высокомерие или проповеднический тон; по этой причине я стараюсь избегать его, где только возможно. В коротких заметках, в личных замечаниях, или в очерках вроде этого оно на своем месте.

13. Правильно используйте слова. Единицы информации, в порядке убывания, таковы: тема, глава, абзац, фраза, слово. Раздел о местоимениях был посвящен словам, хотя, в несколько более строгом смысле, он содержал рекомендации о стратегии стиля. Мой следующий совет, как он звучит в заголовке, не следует понимать прямолинейно; само собой разумеется, что слова надо использовать правильно. Но вот что я хочу подчеркнуть: следует тщательно обдумывать и точно дозировать слова, взывающие к здравому смыслу и интуиции, с одной стороны, и специальные математические слова (технические термины), — с другой. Это может глубоко влиять на математический смысл.

Общее правило: корректно пользуйтесь терминами логики и математики. Я не призываю к педантизму и не предлагаю размножать технические термины для понятий, на волосок отличающихся друг от друга. Наоборот, я имею в виду мастерство настолько тонкое, чтобы оно не бросалось в глаза.

Вот пример: «Доказать, что какое-то (any) комплексное число является произведением некоторого неотрицательного числа и числа с модулем 1». У меня были студенты, которые доказывали это так: «–4i — комплексное число; оно является произведением неотрицательного числа 4 и числа –i, имеющего модуль 1; это и требовалось доказать». Дело в том, что в разговорном английском языке слово «any» — двусмысленное; в зависимости от контекста оно может отвечать либо квантору существования либо квантору общности. Вывод: никогда не используйте слово «any» в математических сочинениях. Заменяйте его на «every» или на «each» или переделывайте фразу.

Вот один способ переделать фразу предыдущего абзаца, данную в качестве примера: условиться, что все «отдельные переменные» пробегают множество комплексных чисел, а потом написать нечто вроде такого выражения:

"z $p $u [(p = |p|) Ù (|u| = 1) Ù (z = pu)].

Я настоятельно советую не делать этого. Символика формальной логики необходима в обсуждении логики и математики, однако в качестве средства сообщения идей от одного смертного к другому она превращается в громоздкий шифр. Автор должен сначала перекодировать свою мысль (я отрицаю, что кто бы то ни было мыслит в терминах $, ", Ù и т.п.), а затем читатель вынужден расшифровать написанное автором; оба шага приводят к растрате времени и затрудняют понимание. Символическая запись, все равно, в стиле современного логика или классического эпсилониста, — это текст, который могут писать машины, и едва ли кто-нибудь, кроме машин, может этот текст читать.

О слове «any» достаточно. А вот — другие нарушители, которые, правда, обвиняются в меньших преступлениях: «где», «эквивалентно», «если... то... если... то». «Где» — обычно знак того, что автор нехотя подумал о том, о чем должен был подумать заранее. «Если n достаточно велико, то |а_n|<e, где e — любое наперед заданное положительное число»; болезнь и лечение от нее ясны. Слово «эквивалентный» для теорем — логическая бессмыслица. (Под теоремой я подразумеваю математическую истину, нечто доказанное. Осмысленное утверждение может быть неверным, но теорема быть неверной не может: «неверная теорема» — внутренне противоречивый термин.) Какой смысл говорить, что полнота пространства L² эквивалентна теореме о представлении линейных функционалов на L²? Имеется в виду, что доказательства обеих теорем — средние по трудности, и если одна из них (любая) уже доказана, то другую можно доказать с относительно меньшими усилиями. Логически точное слово «эквивалентный» здесь не годится. Оборот «если... то... если... то» представляет собой стилистический прием, часто употребляемый скорыми авторами и огорчающий медлительных читателей. «Если справедливо р, то если имеет место q, то выполняется r». Логически тут все в порядке (р Þ (q Þ r)), но психологически на этом месте непременно споткнешься. Обычно нужно только переделать фразу; однако, универсального способа переделать ее нет. Все зависит от того, что важнее в данном конкретном случае. Можно так: «если p и q, то r»; или «при условии p из предположения q следует вывод r»; есть и многие другие варианты.

14. Правильно пользуйтесь техническими терминами. До сих пор речь шла, по существу, о логических аспектах стиля в математике. Теперь я хочу показать, что такое ненавязчивая точность языка в повседневной работе математика на трех примерах: функции, последовательности и включения.

Я принадлежу к школе, для которой функции и их значения — настолько разные вещи, что это различие должно соблюдаться. Не надо суетиться, по крайней мере на людях; просто старайтесь не произносить слова типа «функция z² + 1 — четная». Формулировка «функция f, определенная равенством f(z) = z² + 1 — четная», или, что предпочтительнее с многих точек зрения, «функция z ® z² + 1 — четная» немногим длиннее, но хорошая привычка к ней порой спасает читателя и автора от грубых заблуждений и всегда делает изложение более гладким.

«Последовательность» — это функция, область определения которой является множеством натуральных чисел. Когда какой-нибудь автор пишет «объединение последовательности измеримых множеств измеримо», он отвлекает внимание читателя на ложный путь. В этой теореме совершенно неважно, что первое множество является первым, второе — вторым и т.д.; слово последовательность не относится к делу. Правильная формулировка такова: «объединение счетного множества измеримых множеств измеримо» (или, если нужно иначе поставить акцент, — «объединение счетного бесконечного множества измеримых множеств измеримо»). Теорема о том, что «предел последовательности измеримых функций измерим» — совсем другое дело; здесь слово «последовательность» на месте. Если читатель знает, что такое последовательность, если у него это понятие в крови, то неправильное употребление этого слова будет его отвлекать и замедлять чтение, пусть совсем не намного. Если же читатель на самом деле не знает этого понятия, то неправильное его употребление серьезно отсрочит окончательное понимание.

Слова «содержать» и «включать» — почти всегда употребляются как синонимы, и часто теми же самыми людьми, которые старательно учат своих студентов, что символы Î и Ì — это вовсе не одно и то же. Совершенно не правдоподобно, что использование этих слов вперемешку приведет к недоразумению. Тем не менее, несколько лет назад я начал эксперимент, который продолжаю и теперь: я систематически устно и письменно использовал глагол «содержать» для Î и «включать» — для Ì. Едва ли я что-нибудь доказал этим, но могу сообщить, что (а) это очень легко; (б) вреда от этого — никакого; (в) думаю, что никто ни разу этого не заметил. Полагаю, хотя, по-видимому, это и недоказуемо, что такого сорта терминологическое постоянство (без суетливости) могло бы тем не менее сделать жизнь читателя (и слушателя) удобнее.

Постоянство, между прочим, — великое достоинство изложения, а непостоянство — смертный грех. Постоянство важно в языке, обозначениях, ссылках, разметке шрифтов — оно важно всюду, а его отсутствие может вызвать все, что угодно, начиная с легкого раздражения и кончая полной дезинформацией.

Мои советы об использовании слов можно резюмировать так. (1) Избегайте технических терминов, где только можно, и особенно старайтесь не сочинять новых. (2) Крепко подумайте над новыми терминами, если уж без них не обойтись. Справьтесь по словарю Роже и выберите их как можно удачнее. (3) Употребляйте старые термины правильно и всегда в одном и том же смысле, но без излишнего педантизма.

15. Воздерживайтесь от обозначений. Все сказанное об употреблении слов с соответствующими изменениями и оговорками применимо к еще более мелкой единице математического сочинения — к математическим символам. Лучшее обозначение — отсутствие обозначений. Где только возможно, избегайте громоздкого алфавитного аппарата. Хорошо готовить письменное математическое сообщение, представляя себе, что оно — устное. Вообразите, будто бы рассказываете все другу на какой-нибудь долгой лесной прогулке и у вас нет бумаги. Прибегайте к обозначениям только тогда, когда это необходимо.

Вот следствие из принципа «чем меньше обозначений, тем лучше их система»: не вводите ненужных букв, точно так же, как ненужных предложений. Пример: «На компактном пространстве всякая вещественнозначная непрерывная функция f ограничена». Зачем здесь f? Разве утверждение от этого становится яснее? Другой пример: «Если 0 £ lim a_n^1/n = r < 1, то lim a_n = 0». Зачем тут r? Ответ одинаков в обоих случаях (незачем), но причины присутствия лишних букв могут быть различны. В первом случае f может появиться в результате дурной привычки; во втором случае r, возможно, подготавливает доказательство. От дурной привычки можно отвыкнуть. С другим излишеством труднее, потому что здесь автор должен поработать. Без r в формулировке доказательство станет на полстрочки длиннее; его нужно будет начать как-нибудь так: «Положим r = lim a_n^1/n». Повторение (символа lim a_n^1/n) в этом случае целесообразно: и формулировка и доказательство читаются так легче и становятся естественнее.

Эффективная формулировка принципа «не используйте ненужных букв» такова: «Не используйте ни одну букву однократно». Логики сказали бы это так: «Не оставляйте свободных переменных». В приведенном выше примере о непрерывных функциях символ f является свободной переменной. Лучший способ исключить это f — опустить его. Иногда предпочтительнее превратить f из свободной переменной в связанную. Большинство математиков сделало бы это так: «Пусть f — вещественнозначная непрерывная функция на компактном пространстве; тогда f ограничена». Некоторые логики станут, вероятно, настаивать на том, что f — по-прежнему свободная переменная в новой фразе (дважды свободная) и, с технической точки зрения, они будут правы. Чтобы сделать f связанной переменной, необходимо в каком-нибудь грамматически подходящем месте вставить оборот «для всех f», но в математике общепринято молчаливое соглашение, по которому всякой фразе предшествуют все кванторы общности, нужные для обращения всех свободных переменных в связанные.

Правило «никогда не оставлять в предложении свободные переменные», как и многие другие правила, сформулированные мной, иногда лучше нарушать, чем соблюдать. В конце концов, фраза — это условная единица изложения и если вам хочется оставить висеть в ней свободную переменную f, чтобы позднее, скажем, в этом же абзаце, этой f воспользоваться, то не думаю, что вас обязательно нужно гнать из авторского полка. Тем не менее, это — здоровый принцип, он гибок, но бить его вдребезги не следует.

Существуют и другие логические тонкости, способные остановить, или, в лучшем случае, задержать читателя, если с ними небрежно обращаться. Предположим, например, что в каком-то пункте вы написали

	1
(*)	ò	| f (x)| 2 dx < ¥
	0

как некоторую, скажем, теорему о фиксированной функции f. Если позже вы столкнетесь с другой функцией g, которая тоже обладает этим свойством, то воспротивьтесь желанию сказать: «g также удовлетворяет (*)». Ведь это — бессмыслица с точки зрения и логики и обозначений. Вместо этого скажите «условие (*) остается верным, если заменить f на g» или, что еще лучше, назовите как-нибудь свойство (*) (в данном случае общепринятое название уже есть) и говорите так: «g тоже принадлежит пространству L²(0,1)».

Что можно сказать о выражениях типа «неравенство (*)», «уравнение (7)» или «формула (iii)»? Следует ли отмечать либо нумеровать все, что вынесено между строк? Мой ответ: нет. Причина: бесполезные ярлычки не нужны так же, как излишние предпосылки или никчемные обозначения. Небольшая часть внимания отвлекается на этот значок и уголком мозга читатель станет думать, к чему бы это. Если номер и вправду нужен, то внимание читателя будет незаметно подготовлено к будущей ссылке на эту же идею, но если ни к чему, то внимание и ожидание пропали впустую.

Итак, пользоваться ярлычками следует скупо, но не впадайте в крайность. Я не советую поступать так, как однажды поступил Диксон [2]. На стр. 89 он говорит: «Затем... мы получаем (1)» — а ведь на стр. 89 начинается новая глава и там вообще нет ни одной выделенной формулы, тем более с номером (1). Оказывается, ссылка (1) находится на стр. 90, на обороте, а мне бы и в голову не пришло искать ее там. Минут пять я был в шоке после этой шутки; когда же, наконец, я увидел свет, то почувствовал себя околпаченным и замороченным, и уже никогда не простил этого Диксону.

Громоздкие обозначения часто возникают при проведении индукции. Порой это неизбежно. Однако чаще достаточно объяснить переход от 1 к 2 и заключить воздушным «и так далее». Это не проигрывает в строгости подробным вычислениям, зато гораздо понятнее и убедительнее. Точно так же какое-нибудь общее утверждение об (n×n)-матрицах часто лучше всего доказывается не подробным выписыванием всевозможных символов a_ij с многоточиями, расположенными горизонтально, вертикально и по диагонали, а рассмотрением типичного частного случая (скажем 3×3).

Во всех моих рассуждениях о вреде обозначений есть своя логика. Дело в том, что для глупой вычислительной машины существует лишь одно строгое понятие математического доказательства. Для человеческого же существа, одаренного геометрической интуицией, ежедневно растущим опытом, нетерпением и неспособностью сосредоточиться на надоедливых деталях, это не годится. Еще одним примером тому может служить любое доказательство, состоящее из цепи выражений, соединенных знаками равенства. Такое доказательство легко написать. Автор начинает с первого равенства, совершает естественную подстановку, чтобы получить второе, группирует, переставляет, вносит и тут же вдохновенно сокращает множители и так продолжает до тех пор, пока не получит последнее равенство. Это — опять-таки разновидность кодирования, и читателю приходится одновременно расшифровывать и учиться по ходу дела. Такое удвоение работы бессмысленно. Если автор потратит лишние десять минут и напишет абзац тщательно обдуманных слов, он сбережет полчаса времени каждого из читателей и избавит их от лишних недоумении. Такой абзац должен представлять собой руководство к действиям, заменив бесполезный шифр, который лишь сообщает результаты действий и оставляет читателю гадать, как они получились. Руководство должно быть примерно таким: «Для доказательства подставим p вместо q, затем сгруппируем члены, переставим множители и, наконец, умножим и разделим на множитель r».

Известный прием плохого обучения — начинать доказательство со слов: «Для данного e положим d равным (e/(3M² + 2))^½». Это — восходящий к традициям классического анализа способ писать доказательство от конца к началу. Его преимущество в том, что его легко проверить машине (но трудно понять человеку). Еще одно сомнительное преимущество этого же способа состоит в том, что в самом конце нечто оказывается меньше e, а не, скажем, (e(3M² + 7)/24)^½. Как облегчить в данном случае жизнь читателю, очевидно: напишите доказательство от начала к концу. Начните, как всегда начинают авторы, фиксировав нечто меньшее, чем e, а потом делайте все, что нужно делать — когда нужно, умножайте на ЗM² + 7, потом — делите на 24 и т.д. и т.д. — пока не выйдет то, что выйдет. Ни одно из расположений материала не отличается изяществом, но второй способ по крайней мере легче схватывается и запоминается.

16. Правильно используйте обозначения. Со специальными знаками много вреда не наделаешь, но и здесь полезно быть последовательным и избегать в отдельности незаметных, а в совокупности разъедающих злоупотреблений. Например, хорошо использовать символ с таким постоянством, чтобы его словесный эквивалент был всегда одним и тем же. Это — хорошо, но почти невозможно. Тем не менее, лучше стремиться хоть к этому, чем ни к чему. Как следует читать Î: как сказуемое «лежит в» или как предлог «в»? Как правильно сказать: «Для всех х Î A имеем х Î B» или «Если х Î A, то х Î B»? Я решительно предпочитаю последнее (всегда читаю Î как «лежит в») и вдвойне осуждаю первое (ведь оба чтения встретились в одной фразе). Легко написать и легко прочитать: «Для всех х из A мы имеем: х Î B»; диссонанс и легкая двусмысленность обойдены. То же самое относится к Ì, несмотря на то, что словесный эквивалент здесь длиннее, и даже к символу £ . Фраза типа «Если только положительное число £3, то его квадрат £9» уродлива.

Не только абзацы, фразы, слова, буквы и математические символы, но и невинные с виду знаки обычного повествования могут служить источником недоумении; я имею в виду знаки препинания. Достаточно пары советов. Первый: уравнение, неравенство или включение, или любое другое математическое выражение, по своему содержанию эквивалентно некоторому предложению обычного языка и поэтому оно должно отделяться от соседних с ним выражений. Другими словами: расставляйте знаки препинания в символических фразах как в обычных словесных предложениях. Второй совет: не перетруждайте такие мелкие знаки, как точка или запятая. Читатель легко может проглядеть их, а такая оплошность вынуждает вернуться назад, вызывает замешательство, задерживает. Пример: «Предположим, что a Î X. X принадлежит классу C, ...». Точка между двумя буквами X несет излишнюю нагрузку. Вот еще: «Предположим, что X обращается в нуль. X принадлежит классу C, ...». Хорошее общее правило: никогда не начинайте фразу с символа. Если уж вы непременно хотите начать фразу с упоминания объекта, который обозначается данным символом, то и поставьте подходящее слово в самом начале: «Множество X принадлежит классу C, ...».

Перетруженная точка не хуже, чем перетруженная запятая. Не пишите «Если X обратим, X* также обратим»; лучше: «Если X обратим, то и сопряженный к нему X* также обратим». Не пишите также «Так как p ¹ 0, p Î U»; вместо этого пусть будет: «Из того, что p ¹ 0, следует, что p Î U». Даже обычная фраза «Не хотите, не надо» (т.е. ее математические эквиваленты) усваивается хуже, чем напыщенное «Если вам это и не нравится, то придется вам это проглотить». Я рекомендовал бы ставить после «если» «то» во всех математических текстах. Наличие слова «то» никогда не приведет к недоразумению, а вот его отсутствие — может.

Последняя техническая деталь, которая может помочь в писательской работе, и которую здесь следует упомянуть, в некотором смысле еще меньше, чем знаки препинания, в некотором смысле она просто невидима, но в другом смысле она заметнее всего на печатной странице. Я говорю о плане, архитектуре, внешнем виде страницы самой по себе и, вообще, всех страниц.

Опыт писательской работы и, возможно, трезвого и критического чтения должен придать вам способность чувствовать, как будет смотреться в напечатанном виде то, что вы пишете сейчас. Если текст выглядит как плотная проза, то в печати он приобретет вид непривлекательной проповеди; если это — вычислительная мешанина, и страница набита формулами, то в напечатанном виде текст будет пугать своей сложностью. Лучше всего — золотая середина. Делите текст, но не дробите его; пользуйтесь словесными периодами, но не слишком длинными. Выносите формулы между строк, чтобы глаза могли помогать мозгу; применяйте символы, но перекладывайте их словами, чтобы внимание не плутало в чаще индексов.

17. Всякое сообщение требует организации. Выше я уже говорил, а сейчас хотел бы подчеркнуть это вновь, что различия между книгами, статьями, лекциями и письмами и всеми иными способами сообщения, какие вы можете придумать, меньше, чем сходство.

Когда вы пишете исследовательскую статью, роль «клочков бумаги», из которых составляется набросок книги, могут играть открытые вами теоремы и доказательства; вам все равно придется раскладывать из них пасьянс.

С лекцией дело обстоит немного иначе. Поначалу лекция — это статья; вы планируете ее и пишете как статью. Различие состоит в том, что вам приходится держать в уме трудности устного ее воспроизведения. Читатель может разрешить себе отвлечься, а потом вновь ухватить нить повествования, не потеряв ничего, кроме собственного времени. Слушатели в аудитории не могут себе этого позволить. Читатель может попытаться доказать ваши теоремы самостоятельно, используя при этом ваше изложение как контролирующее подспорье, а слушатель не может этого сделать. Продолжительность очередной порции читательского внимания довольно коротка, а у слушателя она намного короче. Если вычисления неизбежны, то читателя можно им подвергнуть, а слушателя — никогда. Половина искусства хорошо писать — это искусство пропускать; для лектора искусство пропускать составляет девять десятых дела. Здесь различия еще невелики. Даже хорошо написанная статья, прочитанная вслух, может оказаться ужасной лекцией; она, однако, не будет хуже некоторых лекций, которые мне доводилось слушать.

Для лектора вид печатной страницы заменяется видом доски, а воображаемая автором аудитория — живыми людьми. Это уже значительные различия. Доска открывает возможности, которых нет у листа бумаги: на ней можно показать, как тема живет и растет. (Лекторы, подготовляющие доску заранее и записывающие ее целиком до того, как начинают говорить, поступают неразумно и недоброжелательно по отношению к слушателям.) Живые люди обеспечивают мгновенную реакцию на сказанное; для автора текста это — недостижимая мечта.

Основные проблемы общения при изложении во всех случаях одинаковы; их я и описал в этом очерке. Содержание, цель и организация изложения, плюс жизненно важные детали грамматики, стиля и обозначений, но ни в коем случае не показные трюки, — вот основные составляющие элементы хороших лекций и хороших книг.

18. Отстаивайте свой стиль. Ровная, последовательная, эффективная манера изложения имеет своих врагов; эти враги называются помощниками редактора или корректорами.

Редактор может оказать огромную помощь автору текста. Обычно авторы математических текстов живут без этой помощи, потому что редактор математической книги должен быть математиком, а редакторов-математиков очень мало. Идеальный редактор, который в принципе должен разбираться в теме до мелочей, может высказать квалифицированную, но беспристрастную точку зрения на проделанную автором работу; сам автор этого сделать не может. Идеальный редактор представляет собой объединение друга, жены, ученика и студента младшего курса, роль которых в создании книг описана выше. Математические редакторы книжных серий и журналов даже близко не подходят к этому идеалу. Издательская работа является лишь небольшой частью их жизни, тогда как для хорошего редактора она должна целиком заполнять рабочий день. Идеального математического редактора не существует; комбинация друг — жена — и т.д. — лишь почти идеальная замена.

Помощник редактора — это весь день работающий сотрудник, задача которого состоит в обнаружении вашей непоследовательности, ваших грамматических и стилистических ошибок — словом, всевозможных огрехов, за исключением математических. Беда в том, что помощник редактора не рассматривает себя как продолжение автора, а, как правило, вырождается в робота, некстати применяющего механически механические правила. Позвольте привести некоторые примеры.

Однажды я изучал некоторые преобразования, названные «measure-preserving» ⁷. (Обратите внимание на дефис: он играет важную роль, соединяя два слова в одно прилагательное.) Соответствующим свойством не обладали другие преобразования, участвующие в изложении; разумеется, на это обстоятельство было указано с помощью приставки «non». После длинного ряда неверно понятых указаний в верстке появились «non measure preserving transformations». Конечно, это — бессмыслица, хоть и забавная, но отвлекающая и неприятная.

Один знакомый математик говорил, что в рукописи своей книги он написал нечто вроде следующего: «p или q имеют место в зависимости от того, является ли, соответственно, x отрицательным или положительным». Помощник редактора исправил это так: «p или q имеют место в зависимости от того, является ли, соответственно, x положительным или отрицательным»; ему показалось, что так фраза звучит лучше. Это было бы смешно, если бы не было так грустно, и, конечно, совершенно ошибочно.

Общая жалоба всех, когда-либо обсуждавших с помощником редактора вопрос о кавычках, связана с отношением кавычек к другим знакам препинания. По-видимому, существует международное соглашение печатников, согласно которому точка или запятая сразу после кавычек «некрасивы». (Как здесь: помощник редактора исправил бы конец фразы на «некрасивы.» ⁸, если бы я ему это позволил.) С точки зрения логичного математика (и тем более, математического логика) такое соглашение не имеет смысла; запятая или точка должны появляться там, где того требует логика ситуации. Например: Он сказал: «Запятая — это некрасиво.» ⁸. Здесь, очевидно, точка относится к закавыченной фразе; две описанные ситуации различны и никакое негибкое правило нельзя применить к ним обеим.

Мораль: существуют правила «стиля» (чаще всего это — типографские условности), но их механическое применение помощниками редактора может оказаться губительным. Если вы хотите быть автором, то вы должны быть готовы защищать свой стиль и драться за него.

19. Поставьте точку. Битва с корректорами — последняя задача автора; однако не многие авторы так считают. Психологически последний шаг делается перед этим; он состоит в том, чтобы закончить книгу — перестать писать. Это трудно.

Всегда находится что-то недоделанное, всегда можно кое-что сказать еще, или удачнее выразить уже сказанное; в лучшем случае остается смутное чувство, что еще немного — и можно было бы достичь совершенства, отказавшись от которого, обречешь себя на вечное раскаяние. Я пишу это, сожалея, что не включил один-два абзаца о благозвучии и просодии в математическом тексте. И потом, минуточку! Нельзя же закончить, не обсудив, как правильно называть понятия (почему «коммутатор» — это хорошо, а «множество первой категории» — плохо) и теоремы (почему «теорема о замкнутом графике» — это хорошо, а «теорема Коши–Буняковского–Шварца» — плохо). Да, и вот еще маленькая заповедь, которую мне все не удавалось как следует сформулировать: выберите себе образец, хотел я сказать, человека, чьи книги вас учат и увлекают, приспособьте его стиль к вашей личности и вашей теме... Уж это-то следует написать где-нибудь.

У этой задачи — одно решение, очевидное: единственный способ остановиться — быть безжалостным к себе. Вы можете и должны ненадолго отсрочить агонию, вычеркивая текст, проверяя вычисления, или отложив рукопись для дозревания и затем перечитывая ее целиком на едином вздохе; но и после всего этого ваш пыл не остынет.

Когда вы написали все, что пришло вам в голову, выделите денек-другой, чтобы быстро прочесть рукопись и проверить самое существенное, что может броситься в глаза со стороны. Все ли хорошо с математической точки зрения? Интересно ли изложение? Понятен ли язык? Удачна ли и легка для чтения композиция? После этого вычитывайте и проверяйте вычисления. Это — очевидный совет; все знают, как это делать. Что такое «дозревание» — легко объяснить, но не всегда легко выполнить: для этого нужно убрать рукопись с глаз долой и попытаться забыть о ней на несколько месяцев. Когда вы все это сделали и перечитали работу спокойно, вы сделали все, что могли. Не пытайтесь получить еще хоть один результат, перестаньте зализывать шероховатости. Даже если вы и получите этот результат и сгладите острый угол, вам захочется пуститься в погоню за новым миражем.

Я подытоживаю: начинайте с начала, и продолжайте, пока не придете к концу, а потом поставьте точку.

20. Заключительное слово. Я исчерпал все советы по поводу математического сочинения, которые смог вместить в один очерк. Мои рекомендации основаны частично на том, что делаю я сам, в большей степени — на том, чего я, к сожалению, не смог сделать, и в еще большей степени — на том, что я хотел бы получать от других. Вы можете критиковать меня с многих точек зрения, но только не сравнивайте мои нынешние заповеди с моими прошлыми делами. Делайте, пожалуйста, так, как я говорю, а не так, как я делаю — да сопутствует вам удача. Потом перепишите этот очерк и объясните следующему поколению, как работать еще лучше.

Список литературы

 [1] G.D.Вirkhоff, Proof of ergodic theorem, Proc. N.A.S USA 17 (1931), pp.656–660.

[2] L.E.Diсksоn, Modern algebraic theories, Sandborn, Chicago, 1926.

[3] N.Dunfоrd, J.T.Schwartz, Linear operators, Interscience, N.Y. 1958, 1963.

[4] H.W.Fоwlеr, Modern English usage (Second Edition), Oxford, N.Y., 1965.

[5] С.Т.Heisеl, The circle squared beyond refutation, Heisel, Cleveland, 1934.

[6] S.Lefsсhetz, Algebraic topology, A.M.S., N.Y., 1942.

[7] E.Nelsоn, A proof of Liouville's theorem, Proc. A.M.S. 12 (1961), p.995.

[8] Roget's International Thesaurus, Crowell, N.Y., 1946.

[9] J.Thurber, E.Nugent, The male animal, Random House, N.Y., 1940.

[10] Webster's New International Dictionary, Merriam, Springfield, 1951.

Примечания

1. P. R. Наlmоs, How to write mathematics, L'Enseignement Math. 16:2 (1970) 123–152. Перевод с англ. выполнен А. А. Бельским.

2. «На том стою, и не могу иначе» (немецк.). (Прим. перев.)

3. Согласно философии Платона все знания и навыки заложены в каждого человека изначально, а жизнь — это, в некотором смысле, период, в течение которого люди «вспоминают» все то, что знают и умеют. (Прим. перев.)

4. Continuous — по-английски — непрерывный. (Прим. перев.)

5. Easy — по-английски — легко. (Прим. перев.)

6. Ср. также высказывание Л. М. Леонова: «Если меня заставят писать „огурци“, я не буду есть этих огурцей!» (Прим. ред.)

7. Сохраняющие меру. (Прим. перев.)

8. В русском языке соответствующее правило требует постановки точки в конце фразы, независимо от того, входят ли в нее обороты, взятые в кавычки. В первом случае конец фразы должен выглядеть так, как хочет автор: «некрасивы». Во втором случае: (Он сказал: «Запятая — это некрасиво».) мы имеем дело с одной фразой и точка должна стоять после кавычек, а не внутри их. (Прим. ред.)