Обработка результатов эксперимента

2. Обработка результатов эксперимента.

2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:

 (2.1)

В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:

Где k = 0, 1, 2. (2,2)

Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:
 (2.3)
Сумма
Система (2.3) примет вид:

 (2.4)

В результате вычислений получаем S_k и V_j. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:
Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p^-1. В результате получаем:
Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов а_к, находим минимальное значение суммы S:

 S_min=0.7597

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

Предполагается, что экспериментальные значения x_i измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины U_iнезависимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией ^, которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры U_i неизвестная дисперсия оценивается по формуле:
Где r – число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.
Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

 

Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:

 Где S_k – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;

 главный определитель нормальной системы.

В нашем случае:

S₀=3.5438 10^-22

S₁=-8.9667 10^-14

S₂=6.3247 10^-7

Откуда:
Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.
Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:

 Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

Выбираем доверительную вероятность =0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение _равное 2,35, удовлетворяющее равенству:
Доверительные интервалы для коэффициентов:

 (2.4*)

В нашем случае примут вид: