Исследование операций

Московский государственный

Горный университет

Курсовой проект по исследованию операций.

Решение задачи методами линейного,

целочисленного, нелинейного и динамического

программирования.

 

 Выполнил студент группы

ПМ – 1 – 97 Солодовников Д. А.

Научный руководитель: Багрова Г.И.

Москва 1999 г.

Содержание:

Цель курсовой работы ……………………………………………………………..3

Линейное программирование ……………………………………………………..4

Решение задачи методом линейного программирования ……………………….6

Целочисленное линейное программирование …………………………………...9

Решение задачи методом целочисленного линейного программирования …...10

Нелинейное программирование ………………………………………………….15

Решение задачи нелинейного программирования ………………………………15

Динамическое программирования ………………………………………………..20

Решение задачи динамического программирования …………………………….21

Графическая интерпретация решений ……………………………………………25

Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами …….27

О проекте …………………………………………………………………………...28

Цель курсовой работы.

Решить задачу методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования. Сопоставить трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.

Задание:

Определить плановые задания добывающим предприятиям, если в работе находится N = 12 составов.

Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну.

Руда, поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание 29,8 – 29,9%.

Наименование показателя	Единицы Измерения	Предприятия
		1	2	3
Max добыча ПИ	тыс. тонн	740	680	600
Содержание полезного компонента	%	29,1	29,8	30,8
Извлечение	%	80	75	70
Затраты на добычу, транс-портировку и переработку	у.е. /т	6	7	8
Производительность Состава	тыс. тонн	120	110	106
Коэффициент увеличения затрат при нагрузке: До 30% - 31 – 50% - 51 – 70% - 71 – 100%- максимальной		1,8 1,7 1,6 1,4 1	1,7 1,5 1,4 1,2 1	1,9 1,7 1,6 1,3 1

В курсовом проекте введены следующие условные обозначения:

ЛП – линейное программирование;

ЦЛП – целочисленное линейное программирование;

ДП - динамическое программирование.

 Линейное программирование.

Основная задача линейного программирования:

Найти неотрицательное решение системы ограничений (1,2) обеспечивающее максимум (минимум) целевой функции.

1) Первый канонический вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_nb₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_nb₂

……………………………………

a_i1x₁ +a_i2x₂+…+a_ijx_j +…+ a_inx_nb_i

.……………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_nb_n

x_j0; j=1,n; i=1,m;

Z=C₁x₁+C₂x₂+…+C_jx_j+…+C_nx_nmax (min);

2) Второй канонический вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_n+y₁=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n+y₂=b₂

………………………………………

a_i1x₁ +a_i2x₂+…+a_ijx_j +…+ a_inx_n+y_i=b_i

.………………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n+y_m=b_n

x_j0; j=1,n; i=1,m;

Z=C₁x₁+C₂x₂+…+C_jx_j+…+C_nx_nmax (min);

Чтобы решить задачу линейного программирования необходимо привести ее к каноническому виду.

Теоремы линейного програмирования:

Теорема 1. Множество допустимых решений основной задачи линейного программирования выпукло.

Теорема 2. Линейная функция задачи линейного программирования достигает своего экстремального значения в крайней точке множества решений.

При решении системы ограничений могут возникнуть следующие случаи:

1) Система ограничений несовместна, поэтому отыскать оптимальное решение невозможно (рис. 1.1).

2) Система ограничений имеет единственное решение ( рис. 1.2).

3) Система ограничений  имеет  конечное число решений (имеется замкнутая область допустимых решений). Оптимальное решение отыскивается среди решений, принадлежащих данной области(рис. 1.3).

4) Система ограничений имеет бесчисленное множество решений (рис. 1.4).

Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3 Рис. 1.4

 

 

 C

a b

 

 

Рис. 2

Симплекс – метод.

Решение задачи линейного программирования включает в себя 3 этапа:

1) Отыскание базисного решения – некой точки А (рис. 2) лежащей на функции.

2) Отыскание опорного решения – некой точки B (рис. 2) принадлежащей области, образованной ограничениями.

3) Отыскание оптимального решения – некой точки С (рис. 2) принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.

Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводится к последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается (уменьшается) значение целевой функции.

 

В настоящее время решение задач ЛП с помощью симплекс – метода реализуется с помощью ЭВМ.

Решение задачи методом линейного программирования.

Симплекс – метод.

Определить плановое задание добывающим предприятиям, если в работе находится N=12 составов. Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну. Руда поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание Ме (полезного компонента) в пределах 29,9 – 29,9 %

Наименование показателя	Единицы Измерения	Предприятия
		1	2	3
Max добыча ПИ	тыс. тонн	740	680	600
Содержание полезного компонента	%	29,1	29,8	30,8
Извлечение	%	80	75	70
Затраты на добычу, транс-портировку и переработку	у.е. /т	6	7	8
Производи-тельность Состава	тыс. тонн	120	110	106

x₁, x₂, x₃ – количество составов выделенных соответственно предприятиям 1, 2 и 3.

 Ограничения:

·     По количеству составов:

,

где n – количество предприятий, N – количество составов.

1.    x₁ + x₂ + x₃12

·     По максимальному объему добычи руды с каждого из предприятий:

, где

2.    120x₁  740 или x₁6,16666 (для предприятия 1);

3.    110x₂ 680 или x₂ 6,18181 (для предприятия 2);

4.    106x₃  600 или x₃ 5,6603 (для предприятия 3).

·     По содержанию полезного компонента в руде:

по формуле:

где

a_min – минимально допустимое содержание полезного компонента в руде,

a_max – максимально допустимое содержание полезного компонента в руде,

a_i – содержание полезного компонента в руде i – того предприятия,

q_i – производительность состава i – того предприятия,

имеем:

 

Упростим неравенства 5, 6:

5.    34,92x₁ + 32,78x₂ + 32,648x₃ – 35,76x₁ – 32,78x₂ – 31,588x₃0

-0,84x₁ + 1,06x₃0; (ограничение по минимально допустимому содержанию

полезного компонента в руде);

6.    34,92x₁ + 32,78x₂ + 32,648x₃ – 35,88x₁ – 32,89x₂ – 31,694x₃0

-0,96x₁ – 0,11x₂ + 0,954x₃0

 0,96 x₁ + 0,11x₂ – 0,954x₃0; (ограничение по максимально допустимому содержанию полезного компонента в руде);

 

Целевая функция:

 , где - цена готовой продукции (у.е. за тонну);

Z = 676800x₁ + 459250x₂ + 294660x₃

Или в тыс. тонн:

 Z = 676,8x₁ + 459,25x₂ + 294,66x₃

Вывод:

В результате решения данной задачи было получено значение целевой функции Z = 6048,2412;

x₁ = 6,16667 – количество составов для предприятия 1;

x₂ = 0,94654 – количество составов для предприятия 2;

x₃ = 4,88679 – количество составов для предприятия 3;

Для получения наибольшей выгоды (целевая функция стремящаяся к максимуму достигает своего экстремума) необходимо выполнение предприятиями следующего плана:

Предприятие 1 - Р(план) = 740 – y₂ = 740 – 0 = 740 тыс. тонн,

Предприятие 2 – Р(план) = 680 – y₃ = 680 – 575,88043 = 104,11957 тыс. тонн,

Предприятие 3 – Р(план) = 600 – y₄ = 600 – 82,00002 = 517,99998 тыс. тонн.

Целочисленное линейное программирование.

При решении некоторых задач линейного программирования бывает необходимо получить целочисленное решение, которое находится методами целочисленного линейного программирования.

Задача целочисленного линейного программирования это задача, где некоторые или все переменные должны принимать строго целочисленные значения, а целевая функция и ограничения – линейные.

В некоторых задачах целочисленные значения могут быть равны только 0 или 1, тогда такие задачи называются задачами с булевыми переменными.

Задачу целочисленного линейного программирования можно решить как задачу линейного программирования, а затем округлить полученное решение. Однако такой способ допустим только при условии, что значения переменных настолько большие, что погрешностью, вызываемой округлением можно пренебречь. Если же в результате решения переменная принимает малое значение, то ее округление может привести к очень далекому от оптимального решения. Применяются два способа решения задач ЦЛП – метод отсечений и метод ветвей и границ.

Решение задачи ЦЛП методом отсечения:

1.    Решение задачи как задачи ЛП.

2.    Если мы получили целочисленное решение, то оно и является решением задачи ЦЛП.

3.    Если мы получаем нецелочисленное решение, то мы к системе ограничений задачи ЛП прибавляем такое ограничение, что полученное нецелочисленное оптимальное решение не может содержаться во множестве допустимых решений и, таким образом, формируем новую задачу ЛП и решаем ее. Цикл повторяется до тех пор пока не будет получено целочисленное решение (решение задачи ЦЛП (если оно существует)).

Решение задачи ЦЛП методом ветвей и границ: