10. Атом водорода. Частица в центрально симметричном поле
Пусть , т.е. поле обладает центральной симметрией, тогда
. Гамильтониан в координатном представлении имеет вид
. Пишем уравнение на собственные векторы:
В полярных координатах оператор Лапласа имеет вид
,
где содержит слагаемые с производными по переменным
и
.
Можно показать, что оператор квадрата импульса и гамильтониан коммутируют: . Физически это означает, что L2 сохраняется. И
тоже, значит операторы
имеют общие собственные векторы.
Положительно заряжённое ядро создаёт поле или в более общем виде
. Вектор
, где
,
,
, будет решением уравнения на собственные векторы гамильтониана, при чём
Вектору в координатном представлении отвечает функция
.
Стационарное состояние электрона в атоме водорода задаётся тремя числами n, l, m, эти числа определяют энергию En, момент и проекцию импульса соответствующие этому состоянию, при чём . Это вследствие того, что
.
Бор постулировал, что существуют орбиты, на которых электроны не излучают и ещё
1) , где n – номер орбиты,
2) .
Из этих постулатов следует, что
и
.
При Z = 1 (водород) и n = 1 .
11. Система тождественных частиц
Пусть система состоит из N частиц, а её состояние задаётся вектором тогда соответственно
(вероятность обнаружить частицу в элементе объёма
) =
.
,
,
где .
В квантовой механике частицы одного сорта тождественны, принципиально неразличимы (рис. 11.1). Пусть у нас имеется две частицы, тогда
Как это может быть? Так как модуль вектора постоянен, то вектор может только вращаться вокруг начала координат:
. Из условия нормировки следует:
, это выполняется только в двух случаях:
и
. Так как
, возможны две ситуации:
1. , волновая функция симметрична относительно перестановки пары тождественных частиц, такие частицы называются бозоны;
2. , это фермионы.
Принцип Паули гласит, что два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии.
§7. Квантовая статистика
Ели мы при абсолютном нуле температуры будем кидать бозоны в одну энергетическую яму, а фермионы в другую, то картины будут различными: фермионы будут занимать различные энергетические уровни, а бозоны – первый.1)
Если теперь мы будем бозоны трясти, то они как-то распределятся по энергиям, фермионы тоже. Я приведу только результат.
0 комментариев