Распределение Ферми (для фермионов)

1. Распределение Ферми (для фермионов)

Среднее число частиц при температуре T в определённом состоянии даётся формулой

где  – уровень Ферми или химический потенциал. Электроны в металле представляют идеальный фермионный газ.

2. Распределение Бозе (для бозонов)

14

Итак, среднее число частиц в состоянии  при температуре T равно:

,

где  соответствует фермионам,  – базонам.

3. Число состояний частицы в определённом интервале энергий. Распределение по энергиям

Число частиц с энергиями в интервале  пропорционально : . Наша задача найти функцию распределения по энергиям .

Если мы найдём функцию g(E), тогда автоматически мы найдём и f(E),  – число состояний, приходящихся на интервал энергий . Это можно условно так изобразить: на шкале энергий отдельные значения энергии (энергия меняется дискретно), число палочек в интервале энергий  это как раз будет число состояний . Проблема теперь упирается в нахождение этой функции g(E).

Мы рассматривали частицу в ящике, и там были найдены возможные состояния, напомню, что любая тройка целых чисел  задаёт состояние с волновой функцией . Перебирая все тройки чисел, мы получим все возможные состояния. А теперь у нас задача такая: задать интервал энергии и перебрать все возможные состояния, энергия которых попадёт в этот интервал. Задача на первый взгляд страшно трудная, на самом деле решаемая и довольно элементарно. Можно было бы отталкиваться от решения для ящика, но применяется другой трюк более удобный.

Будем считать, что волновая функция частицы не такая, как там было найдено для частицы в ящике, а волновая функция имеет вид  с граничными условиями:1)

Это означает, что

Ну, и

 - целые числа

Если б мы рассматривали свободную частицу в пространстве, любой вектор  был бы допустим, когда мы рассматриваем частицу в ящике, то не любые векторы  задают состояния, а каждая компонента вектора  должна быть кратной величине .

Векторы  могут быть такими, как на рис.3.3, они дискретны, проекции вектора  должны быть кратны числу . Мы имеем дискретный набор точек и теперь мы их можем считать. Мы видим, что на одно состояние в этом пространстве волновых чисел или k-пространстве приходится ячейка с объёмом .

А теперь мы можем ответить на вопрос о том, сколько состояний приходится на заданный интервал энергии. Для частицы с массой m . В k-пространстве энергии E отвечает сфера радиуса , и тогда все точки k-пространства, которые находятся внутри этой сферы, отвечают состояниям, энергия которых меньше E. Тогда число состояний с энергией в интервале [0, E] это будет объём сферы, делённый на объём, приходящийся на одно состояние.

Число состояний N_E с энергиями в интервале [0, E], будет равняться

, где V = L³

А тогда число состояний в интервале  мы получим просто дифференцированием:

Тогда число частиц, для которых , равно

Это не то, что нас интересует. Это не распределение по энергиям – это распределение по волновым числам. А теперь мы вернёмся к распределению по энергиям.

Фермионы с массой m.

, нам теперь надо просто перейти от k к E.

 .

На самом деле, мы это учли движение частицы в целом, частица может иметь ещё внутренние состояния, связанные с её спином, тогда эта формула подправится, и мы напишем так:

Этот множитель 2(j+1) – это число проекций спина на выбранную ось. Для электронов  и 2j+1 = 2, то есть число состояний удваивается, тогда для идеального фермионного газа распределение по энергиям выглядит так:

Такой множитель запоминать это безумие, важно, что функция распределения (что вы должны помнить, придя на экзамен)

Интеграл  должен равняться полному числу частиц N. Для фермионного газа , если этот интеграл взять, можно определить .