Равновесное электромагнитное излучение в полости

4. Равновесное электромагнитное излучение в полости

Мы уже обсуждали, что если взять полость, стенки которой имеют температуру T, и маленькую дырку в этой полости, то эта дырка ведёт себя как абсолютно чёрное тело, а излучение, которое заполняет полость характеризуется определённым распределением энергии по частотам, и это распределение универсально, оно не зависит от стенок полости, это то, что называется равновесное электромагнитное излучение. Я уже упоминал, что классическая физика споткнулась на этом равновесном электромагнитном излучении. А сейчас мы сидим в полости, стенки имеют температуру T, мы имеем температуру немного большую и портим всё дело, выгнали нас, свет потушили, и тогда мы имеем полость, и вся эта полость заполнена электромагнитным излучением, это излучение характеризуется определённым распределением энергии по частотам или по длинам волн, наша цель найти это распределение.

Мы будем исходить не из волновой картины, что здесь волны электромагнитные, а из фотонной картины. Стационарное состояние электромагнитного поля характеризуется определённым набором фотонов, т.е. мы это электромагнитное поле здесь будем рассматривать как идеальный фотонный газ. А фотоны это бозоны. И мы немедленно применяем формулу распределения Бозе к нашему фотонному газу. Импульс фотона , энергия фотона , а . Тогда число фотонов

(для фотонов )

Множитель 2 за счёт двух значений поляризации. Это число фотонов при температуре T, сейчас мы его переделаем .

Это число фотонов, которые приходятся на интервал частот . А теперь мы можем найти распределение энергии по частотам.

Множитель, который стоит перед , называется спектральная плотность равновесного электромагнитного излучения, и она даётся формулой

Это формула Планка. Впервые в этой формуле появилась константа, названная постоянной Планка.

Нарисуем эту функцию: начало её как , хвост её экспоненциальный.

15

§8. Твёрдое тело

С помощью этой формулы Планка мы можем получить все ответы на вопросы, связанные с твёрдым телом.

1. Классическая теория теплоёмкости. Модель независимых осцилляторов

Твёрдое тело может быть смоделировано частицами, которые колеблются относительно положения равновесия. Частицы в узлах решётки сидят и при нагревании колеблются, поэтому простейшая модель такая: частица массы m привязана пружинкой жёсткости k к положению равновесия. На самом деле, там пусто и привязаться не к чему, мы делаем модель. Каждый атом с положением равновесия в узлах решётки мы моделируем независимым осциллятором. Энергия осциллятора . Можно доказать, что средняя кинетическая энергия осциллятора равна средней потенциальной энергии: . Из статистической физики известно, что , поэтому средняя энергия одного осциллятора равна . Тогда внутренняя энергия одного моля будет равняться , а теплоёмкость

Классическая теория говорит, что теплоёмкость одного моля любого твёрдого тела равна 3R. На самом деле, теплопроводность твёрдых тел экспериментально имеет такой вид (рис.1.2).

При достаточно низких температурах теплоёмкость падает как T³. Классическая теория не справляется с этим делом.

Энергия осциллятора квантуется. ,  где – частота осциллятора. Если учесть квантование энергии, то средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы равна , а для пространственного осциллятора

Как это согласуется с классическим результатом? Очень просто – при   и  при . Это уже даёт правильное приближение, но закон T³ не получается всё равно. Это говорит о том, что модель независимых осцилляторов слишком груба.

2.Дебаевская теория

Конечно, эти осцилляторы не могут быть независимыми. Реальная модель такая: мы имеем атомы, связанные пружинками, конечно они могут колебаться, но это не независимые осцилляторы. Это представляется ужасным делом, но на самом деле это решаемая задача. Мы же ещё упростим картину.

Моделью нашего твёрдого тела будет сплошное упругое тело. Тогда тепловое возмущение будет представляться распространением возмущения, то есть стоячими звуковыми волнами. Электромагнитному полю ставятся в соответствие частицы фотоны, точно так же звуковым волнам в этой упругой среде ставятся в соответствие частицы фононы с энергией  и импульсом . Подобно тому как электромагнитным волнам ставится в соответствие идеальный фотонный газ, возбуждению звуковых волн в твёрдом теле ставится в соответствие идеальный фононный газ. И тогда справедлива формула

В твёрдом теле, в отличие от электромагнитных волн, которые имеют два состояния поляризации, может идти продольная волна и поперечная с двумя состояниями поляризации, поэтому появился множитель . Для фонона . И ещё одна тонкость – для фонона три состояния волны имеют разные скорости, но мы будем считать, что они одинаковы.

Тогда внутренняя энергия кристалла изобразится как интеграл:

Для фотонов верхний предел был , а здесь мы имеем дело с кристаллом, там длина волны меньше чем атомные расстояния, значит надо где-то оборвать интеграл.  мы определим из условия, что полное число состояний должно равняться 3N, числу собственных колебаний.

Попробуем найти классический предел (классическая механика всегда является предельным случаем квантовой).

здесь , а  – дебаевская температура.

При   и , соответственно теплоёмкость . Это первое подтверждение теории. При больших температурах  и мы получаем  . Мы получили классический результат!