Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Научная работа

Автор Бирюков Павел Вячеславович.

Гимназия №1 города Полярные Зори

Январь-май 2004 г.

Производная функция

Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+∆x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ∆x — его приращением. Приращение ∆x; аргумента обусловливает приращение ∆у функции, причем:

∆y=f(x+∆x)-f(x).  (I)

Найдем отношение приращения ∆у функции к приращению ∆x аргумента:

∆у/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/ ∆x. (II)

По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке

[x, x+∆x].

Будем теперь неограниченно приближать ∆x к нулю.

Для непрерывной функции f(x) стремление ∆x к нулю вызывает стремление к нулю ∆у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ∆x/∆у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).

lim((f(x+∆x)-f(x))/ ∆x)=f’(x) ∆x→0

 

(III)

С физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функции в точке х.

Определение. Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2°. Пусть каждому значению аргумента х соответствует определенное значение скорости изменения функции f(x). Тогда скорость f '(х) есть новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной функции f(x).

Например, производная функция от квадратной функции Q=bt+at2 есть линейная функция Q' = b + 2at.

3°. Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится штрих на том месте, где обычно помещается показатель степени, или 2) перед обозначением

данной функции ставится символ d/dx.

Если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть обозначена:

1) у', читать: «производная функции у»,

или

2) dy/dx, читать: «дэ игрек по дэ икс».

Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена:

1) f '(х), читать: «производная функции f(x)»,

или же

2) df(x)/dx, читать: «дэ эф от икс по дэ икс».

4°. Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием данной функции.

Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее:

1) найти приращение ∆y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + ∆x и x;

2) найти отношение ∆y/∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x;

3) найти предел отношения ∆y/∆x при ∆x →0.

Пример. Найти производную функции у = х3 + 1 в любой точке x.

Решение. 1) ∆y = (x + ∆x)3 + 1 — (х3 + 1).

По выполнении действий:

∆y = Зx2*∆x+Зx*∆x 2+∆x 3;

2) ∆y/∆x=3x2 + Зx*∆x+∆x 2;

3) dy/dx = lim(3x2+3x*∆x+∆x 2 = 3x2+3x*0+0 = 3x2.

∆x→0

5°. Заметим, что производная линейной функции у= =kx+b есть величина постоянная, равная k.

Действительно, для линейной функции y = kx+b

∆у = k*∆x;

∆y/∆x=k;

6°. Производные часто встречаются в технике и естествознании. Примеры производных: 1) при движении тела пройденный путь s есть функция от времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от пути s по времени t, т. е.

υ=ds/dt;

2) при вращательном движении твердого тела (например, маховика) (черт) вoкруг оси Ох, угол поворота его φ есть функция времени t:

φ=f(t);

угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от угла поворота по времени, т. е.

ω=dφ/dt;

3) при охлаждении тела температура Т тела есть функция времени t,

T=f(t);

скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры Т по времени с, т. е. dT/dt;

4) теплоемкость С для данной температуры t есть производная от количества теплоты Q по температуре t,

C=dQ/dt;

5) при нагревании стержня его удлинение ∆l, как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение ∆l/∆t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t,

α=dl/dt

Касательная к кривой

1°. Возьмем на прямой АВ (черт) точку С и проведем через нее прямую СМ, не совпадающую с АВ. Вообразим, что прямая СМ вращается вокруг точки С так, что угол γ между прямыми стремится к нулю. Неподвижная прямая АВ называется в этом случае предельным положением подвижной прямой СМ.

2°, Вообразим, что на кривой АВ (черт. 93) точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же прямая СТ — предельное положение секущей СМ.

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.

Точка С называется точкой прикосновения или касания.

3°. Следствие. Угол φ (черт.), образуемым касательной СТ с осью Ох, есть предел угла α, образуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.

Действительно, угол γ между касательной СТ и секущей СМ равен разности α — φ:

α — φ = γ.

По определению касательной, угол γ — бесконечно малая величина, а поэтому

φ — limα.  (I)

4°. Теорема. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.

Доказательство. Угловой коэффициент касательной:

tgφ = tg(limα),

так как, по предыдущему, φ = limα.

Исключая случай φ = π/2,

в силу непрерывности тангенса имеем: tg(limα) = lim tgα.

Поэтому tgφ = lim tgα.

По формуле (VI) для СМ (черт.) имеем:

tgα=(f(x+Δx) -f (x))/Δx

Переходя к пределу при Δx→0 (точка М при Δx→ 0 неограниченно приближается к С, а угол α→φ), имеем:

lim tg α =lim((f(x+Δx)-f(x))/Δx)=f '(x). Δx→0  Δx→0

	tgφ=f '(x)

Следовательно, (IV)

Геометрический смысл производной

1°. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:

1) в этой точке имеется касательная к графику функции,

2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, существует предел отношения Δy/Δx. Но отношение Δу/Δx есть тангенс угла секущей СМ (черт.).

lim tgα = tg(limα) Δ x→0 Δ x→0

Δy/Δx=tgx (1)

Значит, согласно условию, существует

Из равенства (1) следует:

α=arctg(Δy/Δx).

Вследствие непрерывности арктангенса, имеем:

Но, по условию, существует и равен числу f '(х). Поэтому

	lim α = arctg f’(x).  Δ x→0

Полагая arctg f '(x)=φ, получаем:

	lim α = φ. Δ x→0

lim α = φ. Δ x→0

Следовательно, существует предел α. Значит, существует прямая, проходящая через точку С, угол которой с Ох равен Такая прямая есть касательная в данной точке С[х, f(x)] и ее угловой коэффициент tgφ = f '(x).

2°. Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном прямой к оси Ох. Наклоном кривой y=f(x) в точке (х1, у1) называется угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой точке, т. е. tgφ = f '(х1).

2. Если касательная в точке (х1, y1) кривой y=f(x) образует с Ох: а) острый угол φ, то производная f '(x)>0, так как tgφ >0 (черт.); б) тупой угол φ, то производная f '(х1)<0, так как tgφ<0 (черт.). Если касательная параллельна оси Оx (черт.), то угол φ=0, tgφ=0 и f '(х1) = 0.

Когда касательная перпендикулярна оси Ох, то стремление α к π/2 может дать один и тот же бесконечный предел как «справа», так и «слева»: tgφ= + ∞ (черт.) пли tgφ=- ∞(черт.), или давать «слева» и «справа» бесконечные пределы разного знака (на черт. в точке С «слева» tgφ = +∞, а «справа» tgφ= - ∞). В первом случае, в точках А и В, функция f(x), говорят, имеет бесконечную производную; во втором случае, в точке С, не существует ни конечной, ни бесконечной производной.

Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках непрерывности функции f(x).

3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее производная в этой точке конечна. Функция f(x) дифференцируема в промежутке а<х<b, если ее производная f '(х) конечна в каждой точке промежутка.

4. Кривая, имеющая касательную, иногда расположена по обе стороны касательной (черт.). В этом случае говорят, что касательная пересекает кривую.

4°. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Согласно условию взаимной перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/f '(x1).

Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

1°. Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Напишем тождество:

Δy=(Δy/Δx)*Δx

так как всегда считаем Δx ≠ 0. При стремлении Δx к нулю отношение Δy/Δx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Δx; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Δy/Δx)*Δx есть бесконечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е.

	lim Δy = 0 Δ x→0

Следовательно, данная функция y=f(x) непрерывна.

2°, Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция:

y = |х|

(черт.) в точке x = 0 непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема.

3°. Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.

Впервые отчетливое различие между понятием непрерывности и дифференцируемости было дано гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским.

Производные от элементарных функций

Производная постоянной

Теорема Постоянная функция имеет в любой точке x производную, равную нулю.

Дано: y=c (черт.).

Требуется доказать: с’=0.

lim (Δx/Δy)=0, т. е.  Δx→0

Доказательство: Для любого значения x и для всякого приращения Δx приращение функции Δy равно нулю, также равно нулю и отношение Δx/Δy.

Отсюда

	c’=0

Таблица элементарных производных

Функция	Ее производная
Xp	px p-1, pÎR
c (c-const)	0
1/x	-1/x2
____ √x	____ 1/2√x
Ex	ex
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos2x
ctg x	-1/sin2x
y = up	pu’up-1
ln x	1/x
ax	ax lna, a>0
log a x	1/(x lna), a>0, a¹0
arcsinx	___________ 1/Ö1-x2
arccosx	____________ -1/Ö1-x2
arctg x	1/(1+x2)
arcctg x	-1/(1+x2)

Правила дифференцирования

Пусть c – постоянная, f(x) и g(x) – дифференцируемые функции, тогда

c = 0;

(c * f(x))’ = c * (f(x))’;

(f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g ‘(x);

(f(x) * g(x))’ = f ‘(x) * g(x) + f(x) * g ‘(x);

(f(x)/g(x))’ = (f ‘(x) * g(x) – f(x) * g ‘(x))/g2(x);

Изучение функций с помощью производной Признаки постоянства, возрастания и убывания функций

Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a ≤ x ≤ b.

1°. Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке отрезка производную, равную нулю. В полных курсах анализа доказывается обратное, что функция f(x) постоянна на отрезке [а, b], если в каждой точке отрезка ее производная f '(х) равна нулю.

Иллюстрируем это геометрически. Если f ' (x) = 0 в каждой из точек отрезка [а, b], то касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек х (а ≤ х ≤ b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной вточке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b]

график функции y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а значение функции, равное f(а), остается неизменным (черт.).

2°. Если в промежутке a<x<b функция y=f(x) возрастающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Δx и Δу положительны, отношение Δy/Δx положительно и при стремлении Δx к нулю принимает только положительные значения. Вследствие этого его предел — производная f '(х) — положительна или равна нулю

f '(x) ≥ 0

Если в промежутке а<х<b функция y=f(x) убывающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Δx положительно, приращение Δy отрицательно, отношение Δy/Δx принимает только отрицательные значения и при стремлении Δx к нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е.

f '(x) ≤ 0.

Так как значение производной f '(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x):

f '(x) = tgφ,

и у возрастающей функции f '(x) = tgφ ≥ 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (черт. 106). У убывающей функции f '(х) = tgφ ≤ 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (черт.).

В промежутке a<x<b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ≤ х ≤ b1 (a<a1<b1<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f '(x) = 0 на отрезке a1 ≤ х ≤ b1 то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).

Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На черт. и черт. такими точками являются Р и Р1.

3°. В полных курсах анализа доказываются следующие достаточные признаки возрастания и убывания функции:

функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a<x<b, если:

1) производная f '(х) не отрицательна (или не положительна) в промежутке а<х<b,

f '(x) ≥ 0 (или f '(x) ≤ 0)

и

2) в этом промежутке не существует отрезка a1 ≤ x ≤ b1 (а<а1<b1<b), во всех точках которого производная f '(х) = 0.

4°. Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х3 — х2 — 8х + 2.

Решение. Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна:

у' = Зх2 — 2х — 8.

Разложим трехчлен второй степени на множители, так как гораздо легче судить о знаке произведения по знакам множителей, чем о знаке суммы по знакам слагаемых.

Корни трехчлена:

	_______________ x=(1+√1+24)/3=(1+5)/3; x1= - 4/3, x2=2.

Отсюда:

у' =3(х+4/3)(х-2).

Множитель x + 4/3 отрицателен при х < - 4/3 и положителен при х > - 4/3. Множитель х - 2 отрицателен при х < 2 и положителен при х > 2. Знак произведения будет тот или иной в зависимости от расположения точки х на оси Ох относительно точек -4/3 и 2.

Точки -4/3 и 2 разделяют всю ось на три промежутка;

1) — ∞ <x<-4/3, 2) -4/3<x<2, 3)2<x< + ∞.

Чтобы определить знак производной в каждом из промежутков, составим таблицу:

№ про-межутка	Характеристика промежутка	Знак x+4/3	Знак x-2	Знак f ’(x)	Данная функция
1	- ∞ < x< - 4/3	—	—	+	возрастает
2	-4/3 < x < 2	+	—	—	убывает
3	2 < х < + ∞	+	+	+	возрастает

Следовательно, данная функция возрастает в промежутках

- ∞ <x < -4/3 и 2 <x < + ∞ и убывает в промежутке — 4/3 < х <2.

График данной функции представлен на черт.

5°.Функция у = х3 (черт.) имеет производную у = 3х2, которая положительна при всяком значении х, отличном от нуля. При х = 0 производная у' = 0. Функция у = х3 возрастает в промежутке — ∞<x<+∞; x= 0 есть отдельная единственная точка, в которой производная равна нулю, в ней функция возрастает. Действительно, при х = 0 х3 = 0, а при х < 0 х3 < 0 и при х > 0 х3 > 0.

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

1°. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома ( черт.). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка x м, а площадь у м2, тогда:

y = (60-2x)x = 60x - 2х2

Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 - 2x > 0, а 0<x<30.

Площадь y есть функция x, определим промежутки ее возрастания и убывания:

y' = 60 - 4x.

y'>0, и функция возрастает, когда x<15; y<0, и функция убывает, когда x>15.

Если ширина х =	0	5	10	15	20	25	30
то площадь y =	0	250	400	450	400	250	0

Кривая (черт.) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.

Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 — 2x = 60 -- 30=30 (м)

2°. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x2, чтобы периметр ее был наименьший?

Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x м, а периметр:

Y=2(x+36/x)=2x+72/x.

Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных значений x:

0<x<+∞

Определим промежутки ее возрастания и убывания:

y’=2-72/x2=2(x2-36)/x2=2(x-6)(x+6)/x2.

Знак производной определяется знаком разности x-6. В промежутке

0<x<6 y'<0, а в промежутке 6<x<+∞ y'>0.

Периметр убывает в промежутке 0<x<6 и возрастает в промежутке 6<x<+∞. График (черт.) построим по таблице:

Если х =	→0	3	4	5	6	7	8	→∞
То у =	→∞	30	26	24,4	24	24,3	25	→∞

Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.

Максимум и минимум функции

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.

Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.