Дискретная математика

Введение

Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:

Язык дискретной математики; Логические функции и автоматы; Теория алгоритмов; Графы и дискретные экстремальные задачи.

Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.

Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.

Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.

Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.

Множества и операции над ними

Одно из основных понятий математики – множество.

Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.

Множество обозначают: M,N …..

m1, m2, mn – элементы множества.

Символика

A Î M – принадлежность элемента к множеству;

А Ï М – непринадлежность элемента к множеству.

Примеры числовых множеств:

1,2,3,… множество натуральных чисел N;

…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

множество рациональных чисел а.

I – множество иррациональных чисел.

R – множество действительных чисел.

K – множество комплексных чисел.

Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.

А Í В – А подмножество В (нестрогое включение)

Множества А и В равны, если их элементы совпадают.

A = B

Если А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение).

Множества бывают конечные и бесконечные.

|М| - мощность множества (число его элементов).

Конечное множество имеет конечное количество элементов.

Пустое множество не содержит элементов: M = Æ .

Пример: пустое множество:

1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = Æ .

2) множество D , сумма углов которого ¹ 1800 пустое: M = Æ .

Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.

Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …

Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.

Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.

Множество можно задать:

Списком элементов {a,b,c,d,e}; Интервалом 1<x<5; Порождающей процедурой: xk=p k sinx=0; Операции над множествами Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.

А È В

Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.

Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.

Объединение двух множеств

Объединение трех множеств:

AUB

Объединение системы множеств можно записать

- объединение системы n множеств.

Пример: объединение множеств, когда они

заданы списком.

A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}

2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.

A Ç B

Пересечение прямой и плоскости если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка; если прямые II пл., то M ¹ Æ ; если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.

Пересечение системы множеств:

Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.

С = А В

A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A B={a}.

В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

2) не коммутативна, т.е. AB ¹ BA.

4) дополнение

E – универсальное множество.

-- дополнение

Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.

Основные законы операций над множествами.

Некоторые свойства È , Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.

Основные свойства AUB=BUA; AÇ B=BÇ A – переместительный закон объединения и пересечения. (АUB)UC = AU(BUC); (AÇ B)Ç C=AÇ (BÇ C) – сочетательный закон. АUÆ =A, AÇ Æ =Æ , A Æ =A, A A=Æ

1,2,3 – есть аналог в алгебре.

3.а) Æ A = Æ - нет аналога.

Æ ; E A =; A E=Æ ; AUA=A; AÇ A=A; AUE=E; AÇ E=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

AÇ (BUC)=(AÇ B)(AÇ C) – есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U. Прямые произведения и функции

Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎ А, bÎ B.

С=AхВ, если А=В то С=А2.

Прямыми “х” n множеств A1x,…,xAn называется множество векторов (a1,…an) таких, что a1Î A1,…, AnÎ An.

Через теорию множеств введем понятие функции.

Подмножество FÎ Mx x My называется функцией, если для каждого элемента хÎ Mx найдется yÎ Му не более одного.

(x;y)Î F, y=F(x).

Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:

Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎ MX соответствует 1 элемент yÎ MY и обратное справедливо.

Пример: 1) (х,у) в круге

x=2 à y=2

y=2 à x=2..4

не взаимнооднозначное соответствие.

2) x = sinx

Rà R

Пусть даны две функции f: Aà B и g: Bà C, то функция y:Aà C называется композицией функций f и g.

Y=f o g o – композиция.

Способы задания функций:

таблицы, определены для конечных множеств; формула; графики;

Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.

Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!

Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.

Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.

Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.

Множество N2 – счетно.

Доказательство

Разобьем N2 на классы

Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)}

К i-му классу Ni {(a;b)| (a+b=i+1}

Каждый класс будет содержать i пар.

Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.

Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2.

Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk.

Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.

Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.

Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3

b1 ¹ a11, b2 ¹ a22, …

Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].

Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.

Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.

Отношение

Пусть дано RÍ Mn – n местное отношение на множество М.

Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.

Проведем отношение на множество N:

А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_

Б) (9,7) не выполняется.

Пример отношения на множество R

А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö 21)

Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.

Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.

Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна

Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.

Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1.

Свойства отношений

1.Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу

если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули

Пр. отношнний

£ рефлексивное

< антирефлексивное

2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы

сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.

Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b

3. Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.

4.Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E

5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,

антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,

если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пр. а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого

б) отношение < u > для чисел отношение строгого

Элементы общей алгебры Операции на множествах

Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j 1,…, j m}, т.е. система А = {М1;j 1,…, j m} называется алгеброй. W - сигнатура.

Если M1Ì M и если значения j ( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;j 1,…, j m} подалгебра A.

Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и

поэтому тип этой алгебры (2;2)

B=(Б;È ;Ç ) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)

Р. Свойства бинарных алгебраических операций

запись aj b.

1. (aj b)j c=aj (bj c) – ассоциативная операция

Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно

2. aj b = bj a – коммутативная операция

Пр. +,x – коммутат.

–; : – некоммут.

умножение мат A× B ¹ B× A – некоммутативно.

3. aj (bj c) = (aj b) j (aj c) –дистрибутивность слева

(aj b)j c) = (aj с) j (bj c) –дистрибутивность справа.

Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа

но не abc ¹ abac

Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; j I) и B=(M; j I) – одинакового типа.

Пусть отображение Г:Kà M при условии Г(j I)= j I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции j I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение j I в В.

Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.

Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1.

Мощности изоморфных алгебр равны.

Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.