Навигация
Метод половинного деления (бисекции)
9190
знаков
1
таблица
1
изображение
4. Метод половинного деления (бисекции). Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.
Такой метод можно применять, если функция 
непрерывна на отрезке 
и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие 
(1).
Разделим отрезок пополам точкой 
, которая будет приближённым значением корня 
.
Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.
Из отрезков 
и 
выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).
В нашем случае это отрезок , где 
.
Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим 
и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность 
. Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства 
.
Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).
Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.
Пример. Решить уравнение 
методом половинного деления с точностью до 0,001.
Решение.Известен отрезок изоляции корня 
и заданная точность 
. По уравнению составим функцию 
.
Найдём значения функции на концах отрезка: 
, 
.
Проверим выполнение неравенства (1): 
- условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.
Найдём середину отрезка 
и вычислим значение функции в полученной точке:
, 
.
Среди значений 
и 
выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это 
и 
. Следовательно, из отрезков 
и 
выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок 
и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:
, 
, 
, 
- заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
- заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня 
.
Ответ: корень уравнения 
с точностью до 0,001.
Похожие работы
... - в методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона) Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Графики ...
... «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ...
... - функции f. Дальше, имеем: . Отсюда , где W'(x) - транспонированная матрица Якоби. Поэтому окончательно , причем . 3. Программная реализация итерационных методов Реализация алгоритмов итерационных методов решения систем нелинейных уравнений будет показана на примере системы: 3.1 Метод простых итераций Приведём систему к виду: Проверим условие ...
... 1,' Y=',Y: 8: 3); X: =X+H; until X>=Xk+H/2; readkey; end. Блок-схема к заданию: Результаты вычислений: Задание 1 (б) Решение программы вычисления функции с условием Решение уравнения в табличном редакторе Microsoft Excel Для реализации задачи необходимо использовать логическую функцию ЕСЛИ, которая возвращает одно значение, если заданное условие при вычислении дает ...
0 комментариев