Навигация
5. Метод хорд (секущих).
Этот метод применяется при решении уравнений вида 
, если корень уравнения отделён, т.е. 
и выполняются условия:
1) 
(функция 
принимает значения разных знаков на концах отрезка 
);
2) производная 
сохраняет знак на отрезке 
(функция либо возрастает, либо убывает на отрезке ).
Первое приближение корня находится по формуле: 
.
Для следующего приближения из отрезков 
и 
выбирается тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков.
Тогда второе приближение вычисляется по формуле:
, если 
или 
, если 
.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.
6. Метод касательных (Ньютона).
Этот метод применяется, если уравнение имеет корень 
, и выполняются условия:
1) 
(функция принимает значения разных знаков на концах отрезка );
2) производные и 
сохраняют знак на отрезке (т.е. функция либо возрастает, либо убывает на отрезке , сохраняя при этом направление выпуклости).
На отрезке выбирается такое число 
, при котором 
имеет тот же знак, что и 
, т. е. выполняется условие 
. Таким образом, выбирается точка с абсциссой , в которой касательная к кривой 
на отрезке пересекает ось 
. За точку сначала удобно выбирать один из концов отрезка.
Первое приближение корня определяется по формуле: 
.
Второе приближение корня определяется по формуле: 
.
Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности 
- до выполнения неравенства 
.
Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.
Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.
7. Комбинированный метод хорд и касательных.
Если выполняются условия:
1) ,
2) и сохраняют знак на отрезке ,
то приближения корня уравнения по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.
Схема решения уравнения методом хорд и касательных
Вычислить значения функции 
и 
.
Проверить выполнение условия . Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок .
Найти производные и .
Проверить постоянство знака производных на отрезке . Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок .
Для метода касательных выбирается за тот из концов отрезка , в котором выполняется условие , т.е. и одного знака.
Приближения корней находятся:
а) по методу касательных: 
,
б) по методу хорд: 
.
Вычисляется первое приближение корня: 
.
Проверяется выполнение условия: 
, где - заданная точность.
Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.
В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид 
. Приближённые значения корня находятся по формулам:
и 
.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение 
, при котором 
и 
совпадут с точностью .
Пример. Решить уравнение 
методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения 
.
Решение.
Вычислим значения функции 
на концах отрезка: 
, 
.
Проверим выполнение условия: 
- условие выполняется.
Найдём производные: 
и 
.
На отрезке 
производные 
и 
, т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.
Выберем значение для метода касательных. Т.к. 
и 
, то 
.
Найдём приближения корня:
а) по методу касательных: 
б) по методу хорд: 
.
Найдём первое приближение корня: 
.
Проверим выполнение условия: 
- условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.
Отрезок изоляции корня имеет вид: 
.
10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:
, 
.
11. Проверим условие: 
- выполняется, значит можно продолжить применение метода.
12. Так как 
и 
на отрезке
, то для метода касательных: 
.
13. Вычислим значение производной: 
.
14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:
, 
.
15. Найдём второе приближение корня: 
.
16. Проверим выполнение условия: 
- неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.
17. Отрезок изоляции корня имеет вид: 
.
18. Вычислим значения функции:
, 
.
19. Условие 
- выполняется.
20. Так как и 
на , то для метода касательных 
.
21. Вычислим производную: 
.
22. Вычислим: 
,
.
23. Найдём третье приближение корня: 
.
24. Проверим выполнение неравенства: 
- условие выполняется, значит, цель достигнута.
25. Следовательно, 
или 
- приближённое значение корня с точностью до 0,001.
Ответ: .
Похожие работы
... - в методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона) Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Графики ...
... «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ...
... - функции f. Дальше, имеем: . Отсюда , где W'(x) - транспонированная матрица Якоби. Поэтому окончательно , причем . 3. Программная реализация итерационных методов Реализация алгоритмов итерационных методов решения систем нелинейных уравнений будет показана на примере системы: 3.1 Метод простых итераций Приведём систему к виду: Проверим условие ...
... 1,' Y=',Y: 8: 3); X: =X+H; until X>=Xk+H/2; readkey; end. Блок-схема к заданию: Результаты вычислений: Задание 1 (б) Решение программы вычисления функции с условием Решение уравнения в табличном редакторе Microsoft Excel Для реализации задачи необходимо использовать логическую функцию ЕСЛИ, которая возвращает одно значение, если заданное условие при вычислении дает ...
0 комментариев