Цепные дроби

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1. Представление рациональных чисел цепными дробями

§2. Подходящие дроби. Их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава II. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями

1.1. Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей . . . . .

1.3. Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью

§2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя

2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями

2.3. Теорема Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Подходящие дроби как наилучшие приближения

§3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Используемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Введение

Целью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Глава I. Правильные конечные цепные дроби.

§1. Представление рациональных чисел цепными дробями.

Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел , называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.

Пусть - рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:

где неполным частным последовательных делений соответствуют остатки с условием b>>>…>>0, а соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система

из которой последовательной заменой каждой из дробей и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде:

Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что – целое число, а , …, - натуральные числа.

Имеются различные формы записи цепных дробей:

Согласно последнему обозначению имеем

Числа , , …, называются элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было .

Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что .

Доказательство: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при :

так что представление можно удлинить:

например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1).

2) Принимая условие , можно утверждать, что целая часть цепной дроби равна ее первому неполному частному . В самом деле:

если n=1, то

если n=2, то ; поэтому

если n>2, то

=

,

где >1, т.к.

Поэтому и здесь . Докажем то, что рациональное число однозначно представляется цепной дробью , если .

Пусть с условием , . Тогда , так что . Повторным сравнением целых частей получаем , а следовательно и так далее. Если , то в продолжении указанного процесса получим также . Если же , например , то получим , что невозможно.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

Замечания:

В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент , например, .

При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.

Пример: , а так как , то .

Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.

Пример: 5=(5); .

§2. Подходящие дроби. Их свойства.

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби в простую дробь .

При этом основную роль играют дроби вида:

или

которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа .

Заметим, что ==. Считается, что подходящая дробь имеет порядок k.

Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что переходит в , если в первой заменить выражением .

Имеем ,

,

, …,

при этом принимается, что , , , , , и так далее.

Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для (ее числителя и знаменателя ), сохраняется при переходе к и сохранится также при переходе от k к (k+1).

Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где , имеем

(1),

причем (2)

(3)

Далее, говоря о подходящих дробях (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму .

Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают. Последовательное вычисление числителей и знаменателей подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:

				…				…
				…				…
				…				…

Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).

	2	2	1	3	1	1	4	3
	2	5	7	26	33	59	269	866
	1	2	3	11	14	25	114	367

Подходящие дроби () равны соответственно ; ; ; ; ; ; ; .

Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в одну краткую схему, которую приведем для =(2, 3, 1, 4, 2)

.

А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.

Теорема: При k=1, 2, …, n выполняется равенство

Доказательство: Проведем индукцию по k:

При k=1 равенство справедливо, так как .

Пусть это равенство верно при некотором k=n ().

Докажем справедливость равенства при k=n+1.

, то есть равенство верно при k=n+1.

Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k().

Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби – взаимно простые числа, то есть всякая k–подходящая дробь несократима.

Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему свойству имеем .

Пусть , то есть , тогда из равенства следует, что делится на без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть .

Теорема: При

()

()

Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства , доказанного выше, путем деления обеих частей на . Получаем

, что и требовалось доказать.

Докажем второе соотношение.

.

Теорема доказана полностью.

Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1=.

Доказательство: , , так что и положительны.

Соотношение () (*) показывает, что и все следующие знаменатели , , …, положительны. При , поскольку тогда , из (*) получаем

, что и требовалось доказать.

Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби – убывающую последовательность:

;

.

Две подходящие дроби и , у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними.

Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной.

Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем:

.

Если k – четное, то

Если k – нечетное, то

Значит, из двух соседних дробей и четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать.

Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями .

Доказательство: Так как , то , что и требовалось доказать.

Глава II. Бесконечные цепные дроби.

§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями.

Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь.

В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь разлагается в конечную непрерывную дробь.

=()

(1)

и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби.

Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу.

Для иррационального числа указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу.

Выражение (где , ) (2)

возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через (), а числа – ее элементами или неполными частными.

Отметим, что разложение возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части – процесс однозначный.

Рассмотрим пример разложения иррационального числа .

Пусть . Выделим из его целую часть. =3, а дробную часть –3, которая меньше 1, представим в виде , где .

Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем:

;

;

.

Если остановиться на этом шаге, то можно записать:

С другой стороны, из формулы для видно, что =3+. Поэтому , вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться.

Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью.

Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае – смешанной периодической.

Чисто периодическая дробь записывается в виде , а смешанная периодическая в виде .

Итак, разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3, (3, 6)).

В общем случае разложения действительного иррационального числа поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после k–го шага, будем иметь:

так что

.

Числа называются остаточными числами порядка k разложения . В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа .

Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей.

Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных и совершенно не зависит от того, является ли последним элементом или за ним следует еще элемент . Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей.

В частности, мы имеем:

, причем ;

, откуда следует несократимость подходящих дробей ;

.

Сравним теперь подходящую дробь и кусок разложения до остаточного числа . Имеем

,

откуда видно, что вычисление по формально производится таким же образом, как вычисление по с тем лишь отличием, что в первом случае заменяется на , а во втором заменяется на . Поэтому на основании формулы можно сделать вывод о справедливости следующего важного соотношения

. (5)

По этой причине мы пишем также , хотя не является здесь целым положительным числом.

При помощи формулы (5) можно вывести следующую теорему и расположении подходящих дробей разложения .

Теорема: Действительное число всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего разложения, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

Доказательство: Из формулы (5) следует

Но , , так что

() и () имеют одинаковый знак, а это значит, что находится между и ;

, то есть ближе к , чем к .

Теорема доказана.

Так как , то , и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном расположении подходящих дробей:

больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка;

подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую последовательность, а четного порядка – убывающую (в случае иррационального

указанные последовательности являются бесконечными), то есть

(в случае рационального ).

———————————————————

Учитывая то, что при , вследствие чего , переходим к дальнейшему выводу, что в случае иррационального сегменты , , … образуют стягивающуюся последовательность, которая, как известно, должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей , , … и , , … . Но так как принадлежит всем сегментам последовательности, то и совпадает с указанной точкой, так что .

Итак, мы имеем следующий важный результат:

бесконечная последовательность подходящих дробей , которая возникает при разложении иррационального , сходится к , колеблясь около него. Или: иррациональное действительное равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в бесконечную непрерывную дробь (процессом выделения целой части).

Сходимость правильных бесконечных цепных дробей.

Теперь покажем, что сходящейся является последовательность подходящих дробей не только такой бесконечной непрерывной дроби, которая возникает при разложении иррационального числа , но и любой бесконечной непрерывной дроби , где , а - произвольно выбранные целые положительные числа.

Но для этого мы заново исследуем взаимное расположение подходящих дробей.

С этой целью рассмотрим формулы:

(1) и (2),

которые справедливы для любой бесконечной непрерывной дроби.

Формула (1) показывает, что любая подходящая дробь четного порядка больше двух соседних подходящих дробей, у которых порядок на единицу меньше или больше, чем у нее, то есть и . Согласно этому и расположены слева от , и – слева от и так далее.

Формула (2) показывает, что расстояние между соседними подходящими дробями при увеличении k убывает. Действительно, так как , то

Согласно этому свойству ближе к , чем , а так как и находятся слева от , то .

—————————————————

Из этого следует, что подходящая дробь , которая, как и , расположена справа от , ближе к , чем к , то есть .

Подходящие дроби дальнейших порядков располагаются таким же образом.

Итак, подходящие дроби нечетного порядка увеличиваются с ростом порядка, а подходящие дроби четного порядка убывают с ростом порядка; при этом все подходящие дроби нечетного порядка меньше всех подходящих дробей четного порядка, то есть при любых k и .

Так как , то пары подходящих дробей , , … образуют стягивающуюся последовательность отрезков, которая должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей , , … и , , …. Обозначим этот предел за , имеем , причем, очевидно, для любого k, то есть находится между любыми двумя соседними подходящими дробями.

Следовательно, подходящие дроби любой бесконечной непрерывной дроби имеют некоторый предел . Этот предел принимается в качестве значения бесконечной непрерывной дроби. Говорят, что бесконечная непрерывная дробь сходится к или представляет число . Можно записать =, подразумевая при этом, что =.

Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью.

Исходя из результатов, которые мы получили выше, можно утверждать, что для каждого действительного иррационального существует представление в виде бесконечной непрерывной дроби. Таким представлением является разложение в бесконечную непрерывную дробь, так как предел подходящих дробей последней равен как раз .

Возникает вопрос, сколько представлений действительного иррационального в виде бесконечных непрерывных дробей существует вообще? Покажем, что только одно.

Другими словами: представление действительного иррационального в виде бесконечной непрерывной дроби всегда является разложением с помощью выделения целой части. Докажем это важное утверждение.

Пусть действительное иррациональное представлено бесконечной непрерывной дробью , то есть =. Назовем бесконечную непрерывную дробь остатком данной дроби порядка k. Так как любая бесконечная непрерывная дробь представляет некоторое действительное число, то это утверждение относится также и к остатку . Обозначим его через , =, то есть =. Аналогично =, то есть =.

Из соотношения получаем , то есть = (1).

Так как при , то все >1, а , то есть (2). Но так как , то и, ввиду равенства (1) равно остаточному числу второго порядка для , то есть . Тогда далее , а и так далее. Вообще из следует , а .

Элементы данной бесконечной непрерывной дроби получаются из его значения последовательным выделением целой части, что и требовалось доказать.

Вместе с тем мы установили, что остаток бесконечной непрерывной дроби = порядка k+1 совпадает с ее остаточным числом порядка k+1 .

Исследования этого параграфа приводят нас к следующему основному результату: каждое иррациональное действительное число единственным образом представляется бесконечной цепной дробью вида и, наоборот, каждой бесконечной цепной дроби соответствует единственное иррациональное действительное число, которое она представляет. Поэтому множество всех действительных чисел взаимно однозначно отображается на множестве всех непрерывных дробей (если условиться, что для конечных непрерывных дробей берется последнее ). При этом рациональным числам соответствуют конечные непрерывные дроби, а иррациональным – бесконечные дроби.

§2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя.

Рациональные числа образуют счетное множество, в то время как множество иррациональных чисел несчетно. В этом смысле можно сказать, что основную массу всех действительных чисел составляют иррациональные числа. Применение иррациональных чисел в практике обычно осуществляется заменой данного иррационального числа некоторым рациональным числом, мало отличающимся в пределах требуемой точности от этого иррационального числа. При этом обычно стараются выбрать рациональное число возможно простым, то есть в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно небольшим знаменателем.

Для громоздких рациональных чисел, то есть чисел с большими знаменателями, также иногда возникают задачи, связанные с необходимостью отыскания хороших рациональных приближений, понимая под этим отыскание рациональных чисел со сравнительно небольшими знаменателями, мало отличающимися от данных чисел.

Цепные дроби дают очень удобный аппарат для решения задач такого рода. С помощью цепных дробей удается заменять действительные числа рациональными дробями так, что ошибка от такой замены мала по сравнению со знаменателями этих рациональных чисел.