Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью

2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью.

Теорема 1: Для любых двух соседних подходящих дробей и к действительному числу имеет место неравенство , и если , то .

Доказательство: Если , подходящие дроби и , из которых одна четная, а другая – нечетная, лежат по разные стороны от (так как точное значение непрерывной дроби находится между двумя соседними подходящими дробями), и поэтому расстояние от до любой из них меньше длины интервала, образованного этими двумя подходящими дробями, то есть

.

Если =, то .

Теорема 2: Для любой подходящей дроби к действительному числу справедливо неравенство:

Доказательство: Если =, то получаем, что левая часть неравенства равна нулю, в то время как правая часть всегда больше нуля. Поэтому при = неравенство выполняется. Пусть , то есть существует подходящая дробь .

При k>0 и согласно предыдущей теореме имеем:

.

Отдельно рассмотрим случай k=0. Если , то

.

Теорема 3: Если , то .

Из теорем 1-3 получаем следующие оценки погрешности:

, ,

из которых первая является наиболее точной, а последняя – наиболее грубой.

2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями.

Решение поставленной задачи начнем с рассмотрения нескольких примеров.

Пример 1: Рассмотрим задачу, аналогичную той, с которой встретился голландский математик Христиан Гюйгенс (1629-1695) при построении модели солнечной системы с помощью набора зубчатых колес и которая привела его к открытию ряда важных свойств непрерывных дробей.

Пусть требуется, чтобы отношение угловых скоростей двух зацепляющихся зубчатых колес II и I было равно .

Так как угловые скорости колес обратно пропорциональны числам зубцов, то отношение чисел зубцов колес I и II должно быть равно . Если – несократимая дробь с большим числителем и знаменателем, например, , то для точного решения задачи возникает техническая трудность изготовления колес с большим количеством зубцов.

Задачу можно технически упростить при помощи колес с меньшим количеством зубцов. При этом важно, чтобы отношение этих чисел было, по возможности, ближе к заданному отношению. Хорошего удовлетворения поставленных требований можно добиться, если воспользоваться непрерывными дробями.

Пусть, например, поставлено требование заменить N и n меньшими числами и так, чтобы и чтобы отношение было, по возможности, ближе к .

Применяя аппарат цепных дробей, можем дать следующее решение этой задачи: разлагаем в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не превышающим 100.

Получаем, =(1, 2, 3, 7, 8, 2)

Составляя схему, находим:

Поставленному условию удовлетворяет подходящая дробь . При этом допущенная погрешность , то есть весьма незначительна.

Ответ: .

Для иррационального по существу возможно лишь приближенное решение задачи.

Пример 2: Как мы уже определили ранее . Вычислим с точностью до 0,001.

Для решения придется найти такую подходящую дробь разложения , чтобы .

Сделаем это, используя схему:

Очевидно, нам достаточно взять , так как 19·60>1000. Это значение будет равно с точностью до 0,001, причем с недостатком, так как – подходящая дробь нечетного порядка. Мы можем представить в виде десятичной дроби, причем имеем право взять 3 знака после запятой, так как является приближенным значением для с точностью до 0,001. Получаем (мы округляем по избытку, так как является приближенным значением с недостатком, однако, не можем теперь сказать, будет ли 3,316 приближенным значением с недостатком или избытком).

Решенные задачи в более общем виде формулируются так:

Найти рациональное приближение к действительному со знаменателем в виде наиболее близкой к подходящей дроби. Для этого надо взять подходящую дробь для с наибольшим знаменателем, не превышающим n.

Найти рациональное приближение к действительному числу с возможно меньшим знаменателем так, чтобы погрешность не превосходила (то есть с точностью до ). Для этого, пользуясь аппаратом цепных дробей, находим подходящую дробь с наименьшим знаменателем так, чтобы .

Похожие работы

Теория остатков

Скачать

72202

18

8

... из которых мультипликативна по лемме 2 пункта 13. Значит, ( a ) - мультипликативна.   Следствие 3. . Доказательство. Пусть . Тогда, по лемме 1 пункта 13 имеем: . 5 Китайская теорема об остатках В этом пункте детально рассмотрим только сравнения первой степени вида ax b(mod m), оставив более высокие степени на съедение следующим ...

Проект разработки программы-калькулятора CalcKurs на языке программирования Pascal

Скачать

17395

1

12

... так делаем, пока не закончатся элементы цепной дроби. Пример. Цепная дробь: [2,3,4,5] Рациональная дробь: 157/68 Тесты. 1.Некорректные данные 2.Корректные данные Заключение Разработана программа CalcKurs, выполняющая следующие функции: 1.формирование заданного подмножества натурального ряда с помощью общего делителя; 2.факторизация числа с опциями; 3.нахождение НОД и НОК ...

Численные методы. Программа-калькулятор на Pascal

Скачать

17639

1

13

... ; q: char; begin writeln ('Дискретная математика'); writeln ('Курсовая работа, группа 03-119, каф308'); writeln ('выполнил: Тузов И.И. '); writeln ('руководитель: Гридин А.Н. '); writeln; writeln ('Калькулятор с функциями, описанными ниже'); writeln; Writeln ('Нажмите Enter'); readln; clrscr; repeat writeln ('Какую выполнить операцию? '); writeln; writeln ('1-вычисление мн-ва N- ...

Решение уравнений в целых числах

Скачать

24303

27

7

... что если уравнение (25) имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их бесчисленное множество. Нельзя, конечно, утверждать, что формулами (31) даются все решения уравнения (25). В теории алгебраических чисел доказывается, что все решения уравнения (25) в целых числах можно получить, взяв некоторое конечное и определенное зависящее от  и  число решений этого уравнения и размножив их с помощью формул ...