Навигация
6. Деление комплексных чисел.
Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.
О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.
Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно ( доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.
Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).
Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:
((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.
Пример 1 предудущего параграфа даёт проверку.
Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.
Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу:
Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’. Получим a + bi.
З а м е ч а н и е 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления.
З а м е ч а н и е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению, мы должны иметь: (a’ + b’i)(x + yi) = a + bi. Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения:
a’x – b’y = a; b’x + a’y = b.
Эта система имеет единственное решение:
если a’/b’ = -b’/a’, т. е. если a’2 + b’2 = 0.
Остается рассмотреть случай a’2 + b’ 2 = 0. Он возможен лишь тогда, когда a’ = 0 и b’ = 0, т. е. когда делитель a’ + b’i равен нулю. Если при этом и делимое a + bi равно нулю, то частное неопределено. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности).
7. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на фиг.1, где точка А изображает число ; а точка В – число –5. Эти же числа можно изображать также
отрезками ОА,ОВ, учитывая не только их длину, но и направление.
Каждая точка М “числовой прямой” изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОМ соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим ). Таким образом, на числовой прямой не остаётся места для комплексных чисел.
Но комплексные числа можно изобразить на числовой плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (фиг.2). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х ( на фиг.2 х=ОР=
=QM) равна абсциссе а комплексного, а ордината у (OQ=РM) равна ординате b комплексного числа.
П р и м е р ы. На фиг. 3 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка В изображает комплексное число –2 + 6i; точка С – комплексное число – 6 – 2i; точка D – комплексное число 2 – 6i.
Действительные числа ( в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси Х, а чисто мнимые – точками оси У.
П р и м е р ы. Точка К на фиг. 3 изображает действительное число 6, точка L – чисто мнимое число 3i; точка N – чисто мнимое число – 4i . Начало координат изображают число 0.
Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки С и С’ на фиг. 3 изображают сопряжённые числа –6 – 2i и - 6 + 2i.
Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число -2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но также вектором ОВ; комплексное число –6 – 2i изображается вектором ОС и т. д.
З а м е ч а н и е. Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.
8. Модуль и аргумент комплексного числа.
Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi |, а также буквой r. Из чертежа видно, что
r = | a + bi | = a2 + b2
Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + bi u a – bi имеют один и тот же модуль.
9. Геометрический смысл сложения и вычитания
комплексных чисел.
Пусть векторы ОМ и ОМ’ (фиг. 4) изображают комплексные числа z= x + yi u z’ = x’ + y’i. Из точки М проведем вектор МК, равный OM’. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел.
Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ’.
Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые.
Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому
||z| - |z’|| < |z + z’| < |z| + |z’|.
Равенствоимеет смысл только в тех случаях, когда векторы ОМ и ОМ’ имеют одинаковые (фиг.5) или противоположные (фиг.6) направления. В первом случае |OM| + |OM’| = |OK|, т. е. |z +z’|=|z| + + |z’|. Во втором случае |z + z’|=||z| - |z’||.
10. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и агрумент q. Формулами
a = r cos q; b = r sin q.
Поэтому всякое комплексное комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), где r > 0.
Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.
Материал иснользовался из книги
М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике: -
- Государственное издательство физико–математической литературы; Москва; 1960
Похожие работы
... и ЭДС. В расчёте можно оперировать и действующими значениями величин – ; ; . Символический метод, основанный на изображении векторов комплексными числами введён Штейнмецом, у нас развит ?????????. Связь комплексных амплитуд тока и напряжения в пассивных элементах электрической цепи Законы Кирхгофа для токов и напряжений, представленных комплексными амплитудами ...
... учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа. Описание методов. Диагностические: I этап. Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10Є классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала ...
... 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. (Рис.1)Доказать, что |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 = |AC|2+|BD|2+4|MN|2.Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, т, п.Так как m = и n = , то |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 |AC|2+|BD|2+4|MN|2 .Равенство доказано.Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, ...
0 комментариев