Навигация
Алгебраическая проблема собственных значений
30010
знаков
20
таблиц
3
изображения
1. ВВЕДЕНИЕ
Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.
Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы.
В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы определения собственных значений.
2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом:
AX = lX,
где A — матрица размерности n х n. Требуется найти n скалярных значений l и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений.
Основные определения матричного исчисления1. Матрица A называется симметричной, если
аij = аij, где i, j = 1, 2, . . ., n.
Отсюда следует симметрия относительно диагоналиаkk, где k == 1, 2, . . ., n.
Матрица
| 1 | 4 | 5 |
| 4 | 3 | 7 |
| 5 | 7 | 2 |
является примером симметричной.
2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матрица имеет вид
| * | * | 0 | ||||||
| * | * | * | ||||||
| * | * | * | ||||||
| . | . | . | . | . | . | |||
| * | * | * | ||||||
| 0 | * | * | * | |||||
| * | * |
Важность трехдиагональной формы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований подобия позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду.
3. Матрица A называется ортогональной, если
АТА = Е,
где Ат—транспонированная матрица A, а Е—единичная матрица. Очевидно, матрица, обратная ортогональной, эквивалентна транспонированной.
4. Матрицы А и В называются подобными, если существует такая несингулярная матрица Р, что справедливо соотношение
В = Р-1АР.
Основные свойства собственных значений.
1. Все п собственных значений симметричной матрицы размерности пХп, состоящей из действительных чисел, действительные. Это полезно помнить, так как матрицы, встречающиеся в инженерных расчетах, часто бывают симметричными.
2. Если собственные значения матрицы различны, то ее собственные векторы ортогональны. Совокупность п линейно независимых собственных векторов образует базис рассматриваемого пространства. Следовательно, для совокупности линейно независимых собственных векторов
Xi, где i == 1,. . ., n,
любой произвольный вектор в том же пространстве можно выразить через собственные векторы. Таким образом,
n
Y = S aiXi.
i=1
3. Если две матрицы подобны, то их собственные значения совпадают. Из подобия матриц A и В следует, что
В = Р-1АР.
Так как
АХ = lХ,
то
Р-1АХ = lР-1Х.
Если принять Х == РY, то
Р-1АРY = lY,
а
ВY == lY.
Таким образом, матрицы A и В не только имеют одинаковые собственные значения, но и их собственные векторы связаны соотношением
Х = Р Y.
4. Умножив собственный вектор матрицы на скаляр, получим собственный вектор той же матрицы. Обычно все собственные векторы нормируют, разделив каждый элемент собственного вектора либо на его наибольший элемент, либо на сумму квадратов всех других элементов.
Похожие работы
... 0135 0.7866 -0.5989 График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса/ График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу Рассмотрим другие примеры: Исходные данные: yn=[1,1,1]; L1= 0.01 edop=0.00001; a=[1 1 1; 2 3 4; 0 4 0]; Найдем собственные значения исходной матрицы, используя функцию eig. Получим L1= 6.2085 ...
... решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n - ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с ...
... степень изношенности дисков, налипание к валу инородных предметов и так далее, то обратная задача состоит в диагностировании характеристик вала с дисками по собственным частотам колебаний вала. Известно, что изменения указанных значений характеристик вала проявляются в изменениях значений собственных частот его колебаний, что в свою очередь может привести к ненужным вибрациям, увеличению шума и т. ...
... собственных значений сводится к проблеме раскрытия определителя по степеням и последующему решению алгебраического уравнения m- й степени. Определитель называется характеристическим (или вековым ) определителем, а уравнение (2) называется характеристическим (или вековым ) уравнением. Различают полную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать все собственные значения ...
0 комментариев