Навигация
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИММЕТРИЧНОЙ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ
30010
знаков
20
таблиц
3
изображения
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИММЕТРИЧНОЙ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ
Приведя симметричную матрицу к трехдиагональному виду методом Гивенса или Хаусхолдера, необходимо найти ее собственные значения. Чтобы ясней были достоинства трехдиагональной формы, сформулируем задачу о собственных значениях в виде
dеt(А—lE) = 0,
где А — симметричная трехдиагональная матрица. Раcкрыв выражение в скобках, получим
| a1 - l | b2 | 0 | ||
| b1 | a2 - l | = 0 | ||
| bn | ||||
| 0 | bn | an - l |
Произвольный определитель порядка п можно выразить через п миноров порядка п — 1, каждый из которых в свою очередь выражается через п — 1 миноров порядка п — 2. Удобство трехдиагональной формы в том, что на каждом шаге все миноры, кроме двух, оказываются равными нулю. В результате исходный определитель представляется последовательностью полиномов
fm(l) = (am - l) fm-1 (l) – b2m fm-2(l).
Приняв
f0 (l) = 1 и f1 (l) = a1 - l при r = 2, .... п,
получим совокупность полиномов, известную как последовательность Штурма и обладающую тем свойством, что корни полинома fj (l) располагаются между корнями полинома fj+1(l). Поэтому для f1 (l) = a1— l можно утверждать, что значение lК = а1 заключено между корнями полинома f2 (l) == (a2 — l) (a1 — l) —b22. Это облегчает итерационное определение корней полинома, так как если известны границы интервалов, в которых лежат значения корней полинома, то их можно найти методом половинного деления. Так последовательно находят корни всех полиномов, и последний из них fn (l) дает все искомые п собственные значения. Эту процедуру можно проиллюстрировать графически (см. рис. 3).
Последовательность Штурма обладает еще и таким свойством: для любого значения b, при котором fn (b) <> 0, число собственных значений матрицы A, больших b, равно числу изменений знака последовательности
1, f1 (b), f2 (b), … , (1)n fn (b).
Если целое число, равное числу изменений знака, обозначить через V(b), то число собственных значений в интервале действительных чисел [b, с] будет равно V(b)—V(c).
| |||
 | |||
| |||
| |||
………………………………………………………………………………………………………..
| |||
 | |||
| |||
Рис. 3. Итерационное определение корней полинома
Похожие работы
... 0135 0.7866 -0.5989 График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса/ График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу Рассмотрим другие примеры: Исходные данные: yn=[1,1,1]; L1= 0.01 edop=0.00001; a=[1 1 1; 2 3 4; 0 4 0]; Найдем собственные значения исходной матрицы, используя функцию eig. Получим L1= 6.2085 ...
... решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n - ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с ...
... степень изношенности дисков, налипание к валу инородных предметов и так далее, то обратная задача состоит в диагностировании характеристик вала с дисками по собственным частотам колебаний вала. Известно, что изменения указанных значений характеристик вала проявляются в изменениях значений собственных частот его колебаний, что в свою очередь может привести к ненужным вибрациям, увеличению шума и т. ...
... собственных значений сводится к проблеме раскрытия определителя по степеням и последующему решению алгебраического уравнения m- й степени. Определитель называется характеристическим (или вековым ) определителем, а уравнение (2) называется характеристическим (или вековым ) уравнением. Различают полную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать все собственные значения ...
0 комментариев