Навигация
Сили, що діють на падаюче тіло
25792
знака
0
таблиц
3
изображения
3.2. Сили, що діють на падаюче тіло.
Якщо опором повітря знехтувати, то розглядаємо вільне падіння g=9,8 м/с2 , тому a = g. Розв’язок (4) можна записати:
v(t)=v0+gt,
y(t)=y0 +v0t+(1/2)gt2.
Розв’язок буде складнішим, якщо враховувати зміну прискорення в залежності від відстані до центра Землі:
F = GMm/(R+y)2 = gm/(1+y/R)2, g = GM/R.
Іншою важливою модифікацією є врахування гальмівної сили, зумовленої опором повітря. Напрямок сили опору середовища протилежний до напряму швидкості. Запишемо силу, що діє на матеріальну точку:
F = Fg - Fd = mg - Fd.
Для знаходження Fd (v) – залежності гальмівної сили від швидкості, можна скористатись експериментальною залежністю y(t).
Для Fd (v) – приймається певний вид залежності від v, і ця формула використовується для знаходження функції y(t). Якщо обчислені значення узгоджуються з експериментальними, то прийнята залежність Fd (v) вважається експериментально підтвердженою.
Найбільш загальні залежності:
Fd(v)=k1v, Fd(v)=k2v2,
де k1, k2 – залежать від властивостей середовища і геометрії тіла. Записані залежності - корисні феноменологічні вирази, що наближено описують силу у обмеженому діапазоні швидкостей.
Через те, що сила опору є зростаючою зі швидкістю існує гранична швидкість, така що встановлюється, за умови рівності нулю прискорення або сили:
Fg = Fd,
v1 = mg/k1, v2 = (mg/k2)1/2.
Часто зручно вимірювати швидкість в цих одиницях.
Fd = k1v1(v/v1), Fd = k2v22(v/v2)2.
Отже рівнодійна сили, що діє на тіло
F1(v) = mg(1 - v/v1), F2(v) = mg(1 - (v/v2)2).
Реальні дані: m = 10-2 кг, r = 0.01м, k2 = 10-4 кг/м. Можна знайти v2 = 30 м/с, цю швидкість має вільне тіло за 3 с пролетівши 50 м без опору повітря. Отже опір повітря грає суттєву роль.
3.3. Чисельний розв’язок рівняння руху.
Узагальнимо метод Ейлера на рівняння другого порядку. Позначимо через dt – крок по часу, тоді tn – що відповідає n – кроку
tn = t0 + n dt.
Позначимо на n – кроці an, vn, yn. Пряме узагальнення набуде вигляду
vn+1 = vn + an dt, yn+1 = yn + vn dt.
Значення у наступній точці визначається через значення у початковій точці. Можна ввести зміну:
vn+1 = vn + an dt, yn+1 = yn + vn+1 dt.
Це модифікований метод Ейлера, метод Ейлера – Кромера, що виконує наближення за наступною точкою.
4. Задача Кеплера.
4.1 Вступ.
Значний вплив на світогляд людини справили закони руху і всесвітнього тяжіння.
Знання про рух планет об’єднали закони Кеплера.
1. Будь-яка планета рухається за еліптичною орбітою у одному з фокусів якої знаходиться сонце.
2. Швидкість планети зменшується у міру віддалення її від Сонця таким чином, що пряма, що з’єднує Сонце і планету за рівні проміжки часу замітає однакову площу.
3. Для всіх планет, що обертаються навколо Сонця, відношення T2/a3 однакове (T-період обертання планети навколо Сонця, а - велика піввісь еліпса).
4.2. Рівняння руху планет.
Задачу двох тіл зводимо до задачі одного тіла.
Перший спосіб. Мс>>mз, з Сонцем можна зв’язати початок системи координат.
Другий спосіб. Якщо потенціальна енергія залежить тільки від відстані між тілами M і m, зводимо до руху одного тіла масою
=
,
m з=5.99 1024 кг, Mc=1.99 1030 кг
Отже 
.
Кілька планет, що взаємодіють між собою і з Сонцем. Чи починаючи з випадкових орбіт прийдуть вони у плоску систему?
Чи газова хмаринка розділиться на планети?
Закон всесвітнього тяжіння.
F= -
(1)
Частинка М притягує m з силою F, r напрямлено від M до m.
G = 6.66 10-11
‘-’ означає, що гравітаційна сила є силою притягання.
Закон відноситься до тіл малих точкових розмірів, або для однорідної кулі, сферичної оболонки, якщо вимірювати від центра маси. Зауважимо, що Ньютон 20 років не публікував цього закону.
Сила тяжіння залежить від відстані між тілами і напрямлена вздовж лінії, що їх сполучає. Це центральна сила. З цього слідує, що орбіта Землі лежить у площині хоу, а момент імпульсу L зберігається і спрямований вздовж OZ, запишемо Lz у виді Lz=[r mv]z=m(xvy - yvx).
L = [r p] ; p =[mv].
Крім того, рух обмежує закон збереження повної енергії Е:
E = mv2/2 – GmM/r.
З малюнка одержимо:
cos = x/r, sin = y/r.
Пов’яжемо систему з масою М, рівняння руху буде:
m(d2
/dt2) = - (GmM/r3).
Запишемо силу у декартових координатах:
Fx = F cos = - (GMm/r2) cos = - (GMm/r3) x,
Fy = F sin= - (GMm/r2) sin = - (GMm/r3) y.
Отже, рівняння руху матиме вигляд:
d2x/dt2 = - (GM/r3) x,
d2y/dt2 = - (GM/r3) y,
r2 = x2 + y2.
Маємо систему диференціальних рівнянь.
Похожие работы
... ’язування задач у будь-якій галузі людської діяльності. Розв’язування задач у будь-якій галузі діяльності-це завжди одержання певних результатів обробки вхідних даних Для розв'язування задач комп'ютер озброєний найрізноманітнішими програмами, які поділяються на такі категорії: · операційні системи; · системи програмування; · прикладне програмне забезпечення. Оскі ...
... зичної освіти, а й важливий чинник загального розвитку школяра та професійного становлення у будь-якій галузі. Перша проблема, яку потрібно вирішити, упроваджую чи елементи комп'ютерного моделювання при вивченні фізики – вибір інструментальних засобів його реалізації. У час зародження сучасних інформаційних технологій єдиним способом було використання мов програмування високого рівня. За останні ...
... принтера також містить різні мови опису даних (Adobe PostScript, PCL і тощо.). Ці мови знову ж таки призначені для того, щоб забрати частину роботи у комп'ютера і передати її принтеру. Розглянемо фізичний принцип дії окремих компонентів лазерного принтера. 2.5.29 Фотобарабан Як вже писалося вище, найважливішим конструктивним елементом лазерного принтера є фотобарабан, що обертається, за ...
... , у принципі, здатний обробляти інформацію в 2L/L раз швидше в порівнянні зі своїм класичним аналогом. Звідси відразу видно, що маленькі квантові регістри (L<20) можуть служити лише для демонстрації окремих вузлів і принципів роботи квантового комп’ютера, але не принесуть великої практичної користі, тому що не зуміють обігнати сучасні ЕОМ, а коштувати будуть набагато дорожче. 1.3.Принципи ...
0 комментариев