Навигация
Числовий розв’язок рівняння Лапласа
25792
знака
0
таблиц
3
изображения
9.4. Числовий розв’язок рівняння Лапласа.
Часто є відомим електричний потенціал на границях області. Нехай маємо систему провідників і кожний під’єднано до батареї. Легко визначити потенціали провідників. Для металу потенціал одинаковий. Однак, розподіл заряду визначити складно, бо він залежить від форми тіла.
Нехай задано потенціал на границі і потрібно знайти потенціал в точках, де немає заряду. Будемо знати 
, то знайдемо 
. Така задача називається краєвою.
Прямий метод базується на рівнянні Лапласа, яке має вигляд:
.
Для довільної форми провідників аналітичних методів немає. Скористаємося наближеними чисельними методами.
Для двовимірної сітки за відсутності зарядів потенціал визначається:
.
Тобто, значення у центральній дорівнює середньому за сусідніми комірками. Така властивість є аналог рівняння Лапласа. У правильності цієї формули можна переконатись для точкового заряду.
Метод релаксації базується на наступному алгоритмі:
Розбиваємо область сіткою із заданим потенціалом на границі.
Комірки ділимо на внутрішні і граничні, граничним приписуємо потенціал границі.
Внутрішнім приписуємо довільний потенціал, найкраще розумне початкове значення.
Приписуємо внутрішнім значення, усереднені за 4-ма сусідніми точками.
Повторюємо пункт 4, поки не досягнемо заданої точності.
Якщо область має заряди з об’ємною густиною 
, то використовуємо рівняння Пуассона:
,
- густина зарядів.
Для двовимірного випадку:
.
10. Чисельне інтегрування
Ілюструємо класичні методи і метод Монте-Карло для оцінки чисельних інтегралів.
10.1. Прості одномірні методи чисельного інтегрування.
Ці методи (класичні) мають перевагу для малих розмірностей.
Геометрична інтерпретація інтегралу - площа під графіком у межах x = a до x = b, відрізок 
ділимо на n відрізків довжиною 
:
де 
, і 
, 
Оцінка площі - сума площ прямокутників. Значення 
обчислюється у початку відрізків і оцінка інтегралу 
дається формулою:
.
10.2. Інший метод трапеції із сторонами у початку і кінці відрізка.
Тобто, f(x) замінюємо прямою, що сполучає значення f(x) в кінцях відрізка. Площа
.
Повна площа
.
Більшу точність дає квадратична, або параболічна інтерполяція за трьома точками 
Площа під параболою між точками виражається формулою:
Повна площа всіх параболічних сегментів:
,
де n – має бути парним.
.
Точність методу прямокутників зростає, як 
= 
, трапецій – n-2, парабол – n-4.
10.3.Чисельне інтегрування багатовимірних інтегралів.
Багато фізичних задач містять усереднення по багатьом змінним. Наприклад, середнє значення енергії системи частинок E(ri,pi), i =1, ..., n. Якщо розмірність простору N = 6n, а число точок на відрізку одного виміру p, то потрібно обчислити за pN точками суму.
Ще дуже складно визначати N-1 - межу інтегрування. Стандартні методи використовуються для N = 2 - 5.
Найпростіший метод оцінки багатовимірних інтегралів зводиться до послідовного взяття одновимірних інтегралів:
,
і 
.
Похожие работы
... ’язування задач у будь-якій галузі людської діяльності. Розв’язування задач у будь-якій галузі діяльності-це завжди одержання певних результатів обробки вхідних даних Для розв'язування задач комп'ютер озброєний найрізноманітнішими програмами, які поділяються на такі категорії: · операційні системи; · системи програмування; · прикладне програмне забезпечення. Оскі ...
... зичної освіти, а й важливий чинник загального розвитку школяра та професійного становлення у будь-якій галузі. Перша проблема, яку потрібно вирішити, упроваджую чи елементи комп'ютерного моделювання при вивченні фізики – вибір інструментальних засобів його реалізації. У час зародження сучасних інформаційних технологій єдиним способом було використання мов програмування високого рівня. За останні ...
... принтера також містить різні мови опису даних (Adobe PostScript, PCL і тощо.). Ці мови знову ж таки призначені для того, щоб забрати частину роботи у комп'ютера і передати її принтеру. Розглянемо фізичний принцип дії окремих компонентів лазерного принтера. 2.5.29 Фотобарабан Як вже писалося вище, найважливішим конструктивним елементом лазерного принтера є фотобарабан, що обертається, за ...
... , у принципі, здатний обробляти інформацію в 2L/L раз швидше в порівнянні зі своїм класичним аналогом. Звідси відразу видно, що маленькі квантові регістри (L<20) можуть служити лише для демонстрації окремих вузлів і принципів роботи квантового комп’ютера, але не принесуть великої практичної користі, тому що не зуміють обігнати сучасні ЕОМ, а коштувати будуть набагато дорожче. 1.3.Принципи ...
0 комментариев