Загальні методичні рекомендації вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу

2.2 Загальні методичні рекомендації вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу

2.2.1 Формування уявлень і понять про стереометричні фігури та деякі їх властивості

Формування понять – складний психологічний процес, який починається з утворення найпростіших форм пізнання – відчуття. Він проходить часто за такою схемою: відчуття  сприймання  уявлення  поняття.

Дитина народжується, розвивається у тривимірному просторі.

Ознайомлення з просторовими об'єктами починається в ранньому віці на рівні відчуттів і сприйняття цих об'єктів органами чуття. Чим багатший і різноманітніший навколишній світ дитини, тим більше знань про просторові об'єкти вона одержує до початку навчання у школі.

Наприкінці 9-го класу під час вивчення розділу «Початкові відомості зі стереометрії» варто ознайомити учнів із взаємним розміщенням прямих і площин у просторі, зосередити увагу на властивостях просторових фігур, паралельності та перпендикулярності, систематизувати, узагальнити та дещо доповнити стереометричний матеріал, відомий з курсу математики 5–6-х класів та планіметрії 7–9-х класів. Основна мета вивчення розділу – розвиток просторових уявлень та уяви учнів, що має велике значення не тільки для загального їх розвитку, а є своєрідним завершенням шкільної геометричної освіти учнів, підготовкою до вивчення систематичного курсу стереометрії та продовження освіти в інших середніх навчальних закладах.

Особливістю вивчення елементів стереометрії у 9-му класі (порівняно з питаннями планіметрії) є те, що майже всі стереометричні факти повідомляються у цій темі без доведення. Їх обґрунтування та доведення – завдання систематичного курсу стереометрії. Засвоєння властивостей стереометричних фігур має здійснюватися з опорою на наочність: моделі, таблиці, рисунки тощо.

Вивчення розділу «Початкові відомості зі стереометрії» розпочинаємо з розгляду питання про взаємне розміщення точок, прямих і площин. Уявлення про площину, про взаємне розміщення точок і прямих на площині та деякі їх властивості учні одержали в курсі планіметрії. Їх слід повторити, навести приклади плоских поверхонь (поверхня підлоги, стелі, шибки, спокійного озера тощо).

Після цього вчитель пропонує зображення площини (здебільшого у вигляді паралелограма), її позначення (буквами грецького алфавіту  тощо). Учні встановлюють, що єдину площину можна провести: 1) через дві прямі, які перетинаються; 2) через дві паралельні прямі; 3) через пряму та точку поза нею; 4) через три точки, що не лежать на одній прямій. До кожного випадку доцільно зробити відповідні рисунки.

Оскільки питання про взаємне розміщення прямих у просторі учням відоме з курсу планіметрії 7-го класу, то його варто повторити, сформулювати означення паралельних, мимобіжних прямих, ознаку паралельності прямих у просторів

Одночасно з цим потрібно з'ясувати випадки взаємного розміщення точки та площини, прямої та площини, навчитися виконувати умовні зображення площини та точки, яка лежить у цій площині або поза нею; площини та прямої, що лежить у площині, має з нею одну спільну точку (перетинає її), або такої, що не має спільних точок (паралельної їй). Можна дати означення паралельних прямої та площини: пряму та площину називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Слід показати учням, що коли пряма  та площина  паралельні, то використовуються такі записи:

 або .

Далі формулюємо ознаку паралельності прямої і площини.

Наступним кроком є розгляд випадків взаємного розміщення двох площин. Логічно міркуючи, учні без особливих труднощів доходять висновку, що дві площини можуть не мати спільних точок (бути паралельними) або перетинатися по прямій. На моделях прямокутного паралелепіпеда, прямої призми учні інтуїтивно вказують їх паралельні грані і такі, що перетинаються. Учитель додає, що площини, у яких лежать ці грані, відповідно паралельні або перетинаються. За аналогією з означенням паралельних прямих на площині варто дати означення паралельних площин: дві площини називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

За допомогою двох аркушів паперу пропонуємо учням сконструювати моделі:

а) паралельних площин;

б) площин, що перетинаються.

Рисунки, що ілюструють паралельність або перетин площин, учитель виконує на дошці, а учні відтворюють у зошитах. Після цього вчитель формулює ознаку паралельності площин.

Перед розглядом перпендикулярності прямої та площини, треба повторити питання про перпендикулярність прямих на площині, у просторі, пригадати означення перпендикулярних прямих.

Уявлення про перпендикулярність прямої та площини дають стовп і поверхня землі, ніжка стільця та підлога, канат у спортзалі, прикріплений до стелі, тощо. За допомогою спиці та картонного паперу створюємо модель прямої, перпендикулярної до площини. Перпендикулярність перевіряємо за допомогою косинця. Прикладаючи косинець катетом до спиці з кількох сторін, показуємо, що в кожному випадку спиця з картонкою утворює прямий кут. Так підводимо учнів до означення перпендикулярних прямої та площини: пряму, яка перетинає площину, називають перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині і проходить через точку перетину.

Слід показати учням, що коли пряма  перпендикулярна до площини , то це записують так:

 або .

Варто повідомити учням, що у курсі стереометрії доводиться ознака перпендикулярності прямої та площини: «якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що лежать у площині та перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини».

Основну увагу треба звернути на формування в учнів поняття відстані від точки до площини. Насамперед слід повторити, як знаходиться відстань від точки до прямої. Якщо пряма  перпендикулярна до площини  і точка  лежить у цій площині, то відрізок  називають перпендикуляром, опущеним з точки  на площину . Довжину цього перпендикуляра називають відстанню від точки  до площини .

Розгляд можливих випадків перетину двох площин приводить до уявлення про перпендикулярні площини. Нехай дві площини  та  перетинаються по прямій . Якщо деяка площина  перпендикулярна до прямої  і перетинає площини  та  по перпендикулярних прямих, то площини  та  називають перпендикулярними. Це записують так:

 або .

Далі слід дати означення перпендикулярних площин і сформулювати ознаку, яка доводиться в систематичному курсі стереометрії. Таке пояснення необхідно також супроводжувати показом моделей. Якщо косинець прикласти до двох площин, що перетинаються так, що його катети будуть перпендикулярні до лінії їх перетину, то ми матимемо уявлення про перпендикулярні площини. Перпендикулярність площин на практиці можна перевірити за допомогою виска (шнура з тягарцем). Так, наприклад, перевіряють вертикальність стін будівлі.

Важливо, щоб учні могли показувати приклади взаємного розміщення прямих і площин у просторі на моделях відомих їм геометричних тіл, на предметах навколишнього середовища.

За дослідженнями психологів, середній шкільний вік є найбільш сензитивним для засвоєння методу проектування. Враховуючи це в практиці навчання, необхідно вже в курсі планіметрії ознайомити учнів з виконанням зображень геометричних тіл. У зв'язку з цим як спосіб зображення просторових фігур доцільно розглянути паралельне проектування, а саме конструкцію паралельного проектування точки та фігури на площину, сформулювати властивості паралельної проекції.

Під час вивчення розділу «Елементи стереометрії» відомості про многогранники, які учні одержали раніше, необхідно узагальнити й систематизувати. А саме: на основі попереднього досвіду учнів потрібно дати загальне поняття многогранника, його граней, ребер, вершин. Доцільно сформулювати таке означення.

Многогранник – це геометричне тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників.

Многокутники, які обмежують многогранник, називають його гранями, їх сторони – ребрами, а вершини – вершинами многогранника.

При цьому вчителю слід продемонструвати різні моделі многогранників. Учні повинні вміти показувати їх грані, ребра, вершини.

Корисно нагадати учням, що з найпростішими з многогранників – призмами і пірамідами – вони зустрічалися раніше і вже ознайомлені з їх елементами та деякими властивостями.

Перший вид многогранників, який слід розглянути, – призми. Відомості, одержані про призму раніше, варто пригадати, повторити. Зокрема, призму учні мають розпізнавати як многогранник, у якого дві грані – довільні рівні многокутники з відповідно паралельними сторонами, а решта граней – паралелограми. Рівні многокутники називають основами призми, а паралелограми – бічними гранями.

Демонструючи моделі різних призм, учитель має звертати увагу учнів на те, що є призми, у яких бічні грані – прямокутники. У цьому випадку бічне ребро перпендикулярне до площини основи. Можна дати означення прямої призми: призму називають прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. В іншому випадку призма буде похилою. У 9-му класі досить обмежитися розглядом прямої призми.

Висотою прямої призми є довжина її бічного ребра. Відрізок, який сполучає дві вершини, що не належать одній грані, називають діагоналлю призми. Уявлення про діагональний переріз можна дістати, коли розрізати призму, виготовлену з пластичного матеріалу (пластиліну, воску, гуми), площиною, що проходить через бічні ребра призми.

Серед чотирикутних призм корисно виділити ті, основою яких є паралелограм. Такі призми називають паралелепіпедами. Отже, всі грані паралелепіпеда є паралелограмами. Якщо бічні ребра паралелепіпеда перпендикулярні до площини основи, то його називають прямим паралелепіпедом (в іншому випадку він буде похилим). У прямого паралелепіпеда дві грані (основи) – паралелограми, а решта граней – прямокутники. З класу прямих паралелепіпедів виділяють такі, основою яких є прямокутник. Це прямокутний паралелепіпед. Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

Важливо, щоб учні усвідомили, що і куб, і прямокутний паралелепіпед, і прямий паралелепіпед є різновидами призми. Доречним є поданий нижче ланцюг, який демонструє зв'язок між цими поняттями: призма – чотирикутна призма – паралелепіпед – прямий паралелепіпед – прямокутний паралелепіпед – куб.

Деякі відомості про елементи прямої призми (ребра, грані, основи) учням уже відомі. На основі планіметричних знань їх доцільно уточнити. Оскільки основи та бічні грані прямої призми є плоскими фігурами, то для них справедливі твердження планіметрії, зокрема: бічні ребра рівні між собою як протилежні сторони прямокутника. Після цього, використовуючи властивості паралельного проектування, вчимо учнів будувати зображення прямої призми. Це можна зробити в такій послідовності. Спочатку зображуємо одну з основ призми (це буде деякий плоский многокутник). Потім через вершини многокутника проводимо вертикальні паралельні прямі та відкладаємо на них рівні відрізки (вони будуть зображенням бічних ребер прямої призми). Послідовно сполучаючи кінці цих відрізків, одержуємо зображення другої основи призми.

Одночасно доцільно дати учням уявлення про зображення прямокутного паралелепіпеда, куба. За відповідної підготовки переважна більшість учнів правильно виконує ці зображення, досить легко за ними знаходить паралельні, взаємно перпендикулярні грані, ребра тощо.

Наступний вид многогранників, які пропонуємо розглянути, – піраміди. Уявлення про піраміду і деякі відомості про неї учні вже мають. Тому їх слід пригадати. Зокрема, піраміду вони розпізнають як многогранник, у якого одна грань – довільний многокутник, а решта граней – трикутники, що мають спільну вершину. Такий опис дає безпосереднє уявлення про форму всіх граней піраміди. Це значно полегшує сприймання форми піраміди, а отже, й дослідження її властивостей. При узагальненні поняття піраміди має бути сформульовано її означення.

Пірамідою називають многогранник, одна з граней якого – плоский многокутник, а решта граней – трикутники, що мають спільну вершину. Потрібно пригадати види пірамід залежно від многокутника, що є основою піраміди, показати їх на моделях та зображеннях.

Оскільки учні вже мають уявлення про перпендикулярність прямої та площини, то можна ввести поняття висоти піраміди як перпендикуляра, опущеного з вершини піраміди на площину основи. Точку перетину перпендикуляра та площини основи називають основою висоти піраміди. Висота утворює прямий кут з будь-якою прямою, що лежить у площині основи піраміди та проходить через основу висоти. Це твердження широко використовується під час розв'язування задач на обчислення елементів піраміди.

Зображати піраміду вчимо учнів у такій послідовності. Будуємо зображення основи піраміди у вигляді плоского многокутника. Позначаємо вершину піраміди і сполучаємо її відрізками з вершинами основи (ці відрізки будуть зображенням бічних ребер піраміди).

Під час побудови зображень призми, піраміди радимо використовувати відповідні демонстраційні комп'ютерні програми.

Варто на наочному рівні дати уявлення про діагональний переріз піраміди аналогічно до того, як це було зроблено у випадку призми.

Якщо піраміду перетнути площиною, паралельною площині основи, то одержимо два многогранники, один з них – піраміда, інший – зрізана піраміда. Слід наголосити, що зрізана піраміда – окремий вид многогранників.

Грані, що лежать у паралельних площинах, називають основами, решту граней називають бічними гранями. Основи – подібні многокутники, бічні грані – трапеції.

З найпростішими тілами обертання учні ознайомлені у 5–6-х класах. У 9-му класі пропонуємо розглядати лише прямий круговий циліндр, прямий круговий конус, зрізаний конус і кулю.

Учні вже мають уявлення про те, як дістати поверхню циліндра обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін та поверхню конуса обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Тому, як підсумок, на уроці демонструємо моделі циліндрів, конусів, серед яких є моделі похилих і некругових циліндрів і конусів. При цьому повідомляємо, що надалі розглядатимемо лише прямі кругові циліндри та прямі кругові конуси, які називатимемо відповідно циліндрами і конусами. Формулюємо означення циліндра як геометричного тіла, утвореного обертанням плоского прямокутника навколо однієї з його сторін. З'ясовуємо, що називають основами, твірними, радіусом, висотою, віссю циліндра. Учитель має зауважити, що у прямого циліндра твірні перпендикулярні до площин основ.

Побудова зображень геометричних тіл – ефективний спосіб розвитку просторових уявлень. Побудова зображень циліндра, конуса, кулі не становить для учнів значних труднощів.

Після ознайомлення з паралельністю площин учні досить легко помічають, що основи циліндра знаходяться в паралельних площинах. Якщо каркасну модель циліндра розмістити в полі зору учнів так, що його основи матимуть вигляд еліпсів, а твірні та висота циліндра будуть вертикальними, то зрозумілим стає зображення циліндра. За допомогою шаблона будуємо два рівних еліпси – основи циліндра, малі осі яких лежать на одній вертикальній прямій. Спільні вертикальні дотичні до обох еліпсів будуть контурними твірними зображуваного циліндра. Для організації роботи учнів треба забезпечити достатньою кількістю шаблонів еліпса різних розмірів.

Відомості, одержані учнями про конус раніше, варто пригадати, повторити.

Прямий круговий конус означуємо як геометричне тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Пояснюємо учням побудову зображення конуса. Основою конуса є круг, який зображується у вигляді довільного еліпса, мала вісь якого лежить на вертикальній прямій. На цій прямій, яка проходить через центр еліпса, позначимо точку – вершину конуса, через неї проведемо дві дотичні до еліпса – контурні твірні. Одержана фігура і буде зображенням конуса на площині.

Даємо уявлення про зрізаний конус. Перетнемо конус площиною, паралельною його основі. Вона відтинає від нього менший конус. Частину, що залишилася, називають зрізаним конусом. Демонструємо учням відповідні моделі.

Слід звернути увагу учнів на практичне значення конічних форм. З конусом, і особливо зрізаним, дуже часто доводиться мати справу на виробництві, зокрема в токарній справі.

Уявлення про осьовий переріз циліндра, конуса учні одержують у процесі ознайомлення з тілами обертання. Уже під час проведення досліду, який демонструє утворення циліндра, конуса, звертаємо увагу на те, що є їх осьовим перерізом. Під час побудови зображень цих тіл даємо уявлення також про зображення осьового перерізу.

З кулею учні ознайомлені раніше. У 9-му класі доцільно розглянути кулю як тіло, утворене обертанням півкруга навколо діаметра. Перед формулюванням означення кулі пропонуємо учням пригадати означення кола і круга, відомі з курсу планіметрії. Тоді так само, як у випадку з циліндром і конусом, формулюємо означення кулі.

Куля – це геометричне тіло, утворене обертанням півкруга навколо діаметра як осі. Центр півкруга буде центром кулі. Радіус півкруга водночас є і радіусом кулі. Поверхню кулі називають сферою. Доцільно зауважити, що сферу можна дістати обертанням кола навколо діаметра як осі.

Переріз кулі площиною є круг. Цей факт буде доведено в систематичному курсі стереометрії.

Контуром кулі є коло. Якщо, будуючи зображення кулі, зобразити тільки її контур, то таке зображення не буде наочним. Тому рисунок потрібно доповнити деякими лініями і точками, які зображають окремі елементи кулі. Коло одного з великих кругів кулі назвемо екватором; діаметр, перпендикулярний до площини екватора, – віссю; його кінці – полюсами кулі. Якщо зображення контуру кулі доповнити зображеннями екватора і полюсів, рисунок стане об'ємним. Зображенням екватора кулі буде довільний еліпс, центр якого є зображенням центра кулі. Нехай такий еліпс вибрано. Тоді пропонуємо таку послідовність побудови зображення кулі:

1)проводимо вертикальну вісь кулі, вибираємо на ній точку, що зображає центр кулі;

2)сумістивши центр еліпса з вибраною точкою, а малу вісь еліпса з вертикальною віссю кулі, зображаємо екватор кулі;

3)радіусом, що дорівнює великій півосі еліпса, будуємо коло з центром у точці, що є зображенням центра кулі; це коло зображає контур кулі;

4)для зображення полюсів проводимо дотичну до еліпса в одному з кінців його малої осі; відрізок цієї дотичної між точкою дотику і точкою перетину її з контуром кулі відкладаємо на осі кулі по обидві сторони від центра кулі. Одержані точки – зображення полюсів кулі.

За аналогією до дотичної до кола дається уявлення про дотичну площину до кулі.

Учні 9-го класу готові до оволодіння вмінням виконувати такі зображення. Більшість з них правильно зображає прямокутний паралелепіпед, куб, піраміду, циліндр, конус, кулю, хоча поширеною помилкою є неправильне зображення невидимих ліній суцільною лінією.

Під час вивчення питань, пов'язаних із зображенням геометричних тіл, ефективним засобом є комп'ютер. За його допомогою легко виділити най-значиміше, продемонструвати побудову зображення у відповідній послідовності у динаміці.

З обчисленням об'ємів геометричних тіл учні ознайомлені в курсі математики 5–6-х класів. Надалі слід звернути увагу на те, що кожне геометричне тіло має певний об'єм, виражений додатним числом. Обчислюючи об'єми, треба брати до уваги такі властивості.

1.      Рівні тіла мають рівні об'єми.

2.      Якщо тіло складається з частин, що не мають самоперетинів, то його об'єм дорівнює сумі об'ємів частин, з яких воно складається.

3.      Одиницею об'єму вважають об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини.

Зауважимо, що зазначені властивості об'ємів аналогічні до властивостей площ.

Оскільки формула для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда відома учням ще з 5-го класу, то її необхідно пригадати:

,

де  – виміри паралелепіпеда.

Якщо добуток розглядати як площу основи паралелепіпеда,  – його висоту, то можна сказати так: об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту.

Після цього дається формула для обчислення об'єму прямої призми:

,

де  – площа основи призми,  – її висота.

Об'єм циліндра, як і об'єм призми, також дорівнює добутку площі його основи на висоту.

Варто пригадати, що основою циліндра є круг. Якщо його радіус позначити через , а висоту циліндра через , то його об'єм дорівнює:

.

Формули для обчислення об'ємів піраміди, конуса, кулі учням також уже відомі. Бажано зауважити, що формула для обчислення об'єму конуса аналогічна до відповідної формули для обчислення об'єму піраміди. Формули об'ємів і площ поверхонь многогранників і тіл обертання відпрацьовуються під час розв'язування відповідних задач.

На завершення потрібно сказати, що названі формули будуть доведені в систематичному курсі стереометрії.

Обсяг, зміст і характер викладу поданого вище стереометричного матеріалу цілком доступні для учнів.

Похожие работы

Особливості вивчення математики в профільних класах у сучасних умовах

Скачать

218746

21

0

... нтуватися на використання підручників [53; 54; 5]. У класах фізико-математичного спрямування доцільно орієнтуватись на використання підручників [53; 54; 5; 1].   РОЗДІЛ 2 ОСОБЛИВОСТІ ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИКИ У ПРОФІЛЬНИХ КЛАСАХ В СУЧАСНИХ УМОВАХ 2.1. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ПРОФІЛЬНОЇ ДИФЕРЕНЦІАЦІЇ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ Математика є універсальною мовою, яка широко застосовується в усіх ...

Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі

Скачать

104386

0

9

... без опану­вання системи понять цієї науки. Це великою мірою сто­сується математики. Найважливішим завданням викладання математики є формування в учнів правильних математичних понять. 1.3. Суттєві і несуттєві властивості понять. Прийоми їх виявлення.   Засвоєння математичних понять відбувається у процесі аналітико – синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виявлення істотних загальних ...

Евклідова і неевклідова геометрії

Скачать

105144

2

4

... метод координат. V. Аксіома паралельності Сама остання аксіома грає в геометрії особливу роль, визначаючи поділ геометрії на дві логічно несуперечливі й взаємно виключають один одного системи: Евклідову й неевклідову геометрії. У геометрії Евкліда ця аксіома формулюється так. V. Нехай а – довільна пряма й А – крапка, що лежить поза прямій а, тоді в площині α, обумовленою крапкою А и ...

Оптимізація міжпредметних зв'язків, як умова підвищення ефективності процесу загальнотехнічної підготовки

Скачать

32341

2

1

... , тим більше опукло представлені в навчальному процесі, грають у ньому велику роль матеріально-технічні фактори й умови навчання, тим потрібніше моделювання в навчальних цілях як компонент загальнотехнічної підготовки. 2. Реалізація міжпредметних зв'язків між загальноосвітніми і загальнотехнічними предметами (на прикладі математики і креслення). В основі міжпредметних зв'язків математики і ...