Навигация
Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили
82482
знака
0
таблиц
0
изображений
1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено.
**********
Условие 2 (продолжение).
Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтому с и b могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство нами было названо «новым свойством 
».
В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрели два «Новых» случая «+» и «-».
Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).
********
«Новый» случай 15
(Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с = С, b= -В, n= N, 
K)
с = - В (16-B),
b= С (17+C),
n= N (18),
K (19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е.
(40´), 
(38´´),
, 
(33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Доказательство
Сумма 
имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность :
=> 
.
Выразим из (25) и (26) :
=> 
=> 
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель 
.
Т.о., имеют вид:
, 
, а их сумма 
.
Т.к. из (8) 
, то 
=> 
.
Из (19) с учетом (29) выразим 
:
, т.е. 
.
Т.о., 
, 
, т.е.
, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь найдем сумму с
:
т.к. , т.е. 
.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для с:
,
т.к. из (29) вытекает 
.
Итак, 
.
Учитывая (34), получим 
=> 
.
Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):
, т.е. 
.
Таким образом, уравнение 
(15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):
, где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.
*********
Примечание
То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).
Случай 15. Случай 8
с = - В (16-B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
K (19), K (19).
У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.
Соображение
Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с и b.
«Общие свойства для с и b»:
сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=2К 
Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:
с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В = 2К.
Отсюда получаем квадратное уравнение
- 2К
+ С В = 0 => X1,2 = К 
,
где, например, Х1 = -b, а Х2 = с, то есть
Х1 = -b = К +=
+
= +
= + 
= -В => b = В,
где на основании 
и Х1 = - b= - 
Х2= с = К-= -= -= - = -С => с = - С,
где на основании (40´) 
и Х2 = 
Таким образом, мы получили случай 8:
Случай 8
с = - С (16´),
b= В (17),
n= N (18),
K (19),
где
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Теперь обозначим Х1 =с, а Х2 = -b. Тогда получим:
Х1 =с = К+=+= += + = -В => с = -В,
где на основании (40´) и Х1 = с = -1.
Х2 = -b = К-= -= -= - = -С => - b= -С => b = С,
где на основании и Х2 = -
Таким образом, мы получили случай 15:
Случай 15
с = -В (16-B),
b= С (17+C),
n= N (18),
K (19),
где
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - 2К+ С В = 0, дает одинаковые решения X1,2 = К (X1(2) =-
Х2(1)= -1) и для Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
В этом мы непосредственно и убедились.
Следовательно, «Общие свойства для с и b» (сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с и b и отличающиеся друг от друга у них выражениями (С и В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Этой похожестью с и b, их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для с и b» мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.
*********
Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).
Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с и b» ( сb = const´, с – b = const´´, с – b = const´´´ ), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.
*********
«Новый» случай 16
(Отличающийся «новым свойством » от случая 2: с = - С, b= В, n = -N, -K)
Случай 16. Случай 7.
с = В с = С
b= -С b= -В
n = -N n = -N
-K -K
Окончательные решения в случае 7:
(40), 
(38´´´),
(41´), 
(33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С+В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40), (38´´´),
(41´), (33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.
********
«Новый» случай 17
(Отличающийся « новым свойством » от случая 3: с = С, b= -В, n = N, -K)
Случай 17. Случай 6.
с = - В (16-B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
-K (19´), -K (19´).
Окончательные решения в случае 6:
(40´), 
(38),
(41´), 
(33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= -С –В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40´), (38),
(41´), (33´),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*********
«Новый» случай 18
(Отличающийся «новым свойством » от случая 4: с = - С, b= В, n =- N, K)
Случай 18. Случай 5.
с = В (16+B), с = С (16),
b=- С (17-C), b= -В (17´),
n=- N (18´), n= -N (18´),
K (19), K (19).
Окончательные решения в случае 5:
(40), 
(38´),
(41), ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С +В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(41), ,
где - взаимно простые нечетные целые (40), (38´), числа.
********
«Новый» случай 19
(Отличающийся «новым свойством » от случая 5: с = С, b=- В, n =- N, K)
Случай 19. Случай 4.
с = - В (16-B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n=- N (18´), n= -N (18´),
K (19), K (19)
Окончательные решения в случае 4:
(39´´´), 
(38´´´),
(37´), 
(33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= -С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39´´´), (38´´´),
(37´), (33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
********
«Новый» случай 20
(Отличающийся «новым свойством » от случая 6: с = - С, b= В, n = N, -K)
Случай 20. Случай 3.
с = В (16+B), с = С (16),
b= -С (17-C), b= -В (17´),
n= N (18), n= N (18),
-K (19´), -K (19´).
Окончательные решения в случае 3:
(39´´), 
(38´´),
, (33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39´´), (38´´), где - взаимно простые нечетные
, (33´), целые числа.
********
«Новый» случай 21
(Отличающийся «новым свойством » от случая 7: с = С, b= -В, n = -N, -K)
Случай 21. Случай 2.
с = -В (16-B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n=- N (18´), n= -N (18´),
-K (19´), -K (19´).
Окончательные решения в случае 2:
, 
, 
где - взаимно простые нечетные целые числа
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= - С - В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*********
«Новый» случай 22
(Отличающийся «новым свойством » от случая 8: с = -С, b= В, n = N, K)
Случай 22. Случай 1.
с = В (16+B), с = С (16),
b= -С (17-C), b=- В (17´),
n= N (18), n= N (18),
K (19), K (19)
Окончательные решения в случае 1:
, 
,
,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
**********
Вывод
Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
*********
«Новый» случай 23
(Отличающийся «новым свойством » от случая 9: с = С, b= В, n = -N, K)
Случай 23. Случай 12.
с = В (16+B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= - В (17´),
n= - N (18´), n= - N (18´),
K (19), K (19)
Окончательный вывод в случае 12: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых 
решений.
********
«Новый» случай 24
(Отличающийся «новым свойством » от случая 10: с = -С, b= -В, n = N, -K)
Случай 24. Случай 11.
с = -В (16-B), с = С (16),
b=-С (17-C), b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
-K (19´), -K (19´).
Окончательный вывод в случае 11: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
«Новый» случай 25
(Отличающийся « новым свойством » от случая 11: с = С, b= В, n = N, -K)
Случай 25. Случай 10.
с = В (16+B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= - В (17´),
n= N (18), n= N (18),
-K (19´), -K (19´).
Окончательный вывод в случае 10: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*********
«Новый» случай 26
(Отличающийся «новым свойством » от случая 12: с = - С, b=- В, n = -N,K)
Случай 26. Случай 9.
с = - В (16-B), с = С (16),
b= - С (17-C), b= В (17),
n= - N (18´), n= - N (18´),
K (19), K (19).
Окончательный вывод в случае 9: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 27
(Отличающийся «новым свойством » от случая 13: с = С, b= В, n = -N,-K)
Случай 27. Случай «-».
с = В (16+B), с = - С (16´),
b= С (17+C), b= - В (17´),
n= - N (18´), n= - N (18´),
-K (19´), -K (19´).
Окончательный вывод в случае «-»: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= СВ = const´, с – b= - С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 28
(Отличающийся «новым свойством » от случая 14: с = - С, b= -В, n = N,K)
Случай 28. Случай «+».
с = - В (16-B), с = С (16),
b= - С (17-C), b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
K (19), K (19).
Окончательный вывод в случае «+»: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод
Похожие работы
... , что возможно, наша цивилизация подойдет к концу прежде, чем удастся доказать Великую теорему Ферма. Доказательство Великой теоремы Ферма стало самым ценным призом в теории чисел, и поэтому не удивительно, что поиски его привели к некоторым наиболее захватывающим эпизодам в истории математики. В эти поиски оказались вовлеченными величайшие умы на нашей планеты, за доказательство назначались ...
... Декарт в первую очередь идеолог: он основатель философской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенных обозначений, но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. В противоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу может придумать массу остроумных математических трюков (см. там же “Теорема Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спуска Ферма”). ...
... Z 12 30 (15) При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений. Решение уравнения Каталана Уравнение данного вида получается при попытке решения гипотезы Биля. Поэтому решение данного уравнения является как бы леммой гипотезы Биля. Ответ будет ...
... ) и теория диофантового приближения (раздел теории чисел, в котором изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов). 2.6. Теон и Гипатия Учеными, завершившими цикл математиков Александрийской школы, были Теон (IV в.) и его дочь Гипатия (370—415). Теон проделал большую работу, комментируя труды Евклида и Птолемея. Что же касается Гипатии, то, по отзывам ...
0 комментариев