Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили

1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.

*********

 

Итак, уравнение (15) , если c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) только в следующих целых числах:

 

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и рассматриваемое уравнение  (, - натуральные числа, где  при  - натуральном) может иметь целые решения либо при , либо при .

 

************

 

Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

Вывод 1. Уравнение (1)  (, - натуральные числа,  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

 

Возможны случаи: либо , либо .

 

 *******

В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.

 

Пример

Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение  (42), где - натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c. (Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. == с + b - число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах).

При  «Исключением» являются , или .

(При  «Исключением» являются, например,  или , при которых а = 2 и выполняется тождество (этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a³ = c² - b² (43) являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:

a = α² – δ² - четное число при α и δ – нечетных или четных.

c = α³ + 3αδ² - четное число при α и δ – нечетных или четных.

b = 3α²δ + δ³ - четное число при α и δ – нечетных или четных.

(Такой же результат получается (a, c, b – четные числа) для любого уравнения

 

 (42), где  - натуральное.)

 

Однако вернемся к уравнению (43) a³ = c² - b².

«Исключением» являются следующие его решения:

1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и = ±3);

2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),

при которых получаем соответственно тождества:

 

1. 2³ ≡ (±3)² – (±1)²

2. (-2)³ ≡ (±1)² – (±3)²

**********

 

Примечание.

1.         Великая теорема Ферма для  доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

2.         Для степени p = 2 в уравнении  такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.

3.         Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при  простом. Имея дело с уравнением (44) , где  простое, a, b, c - целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.

«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам ‌‌| a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).

 

Вывод: Великая теорема Ферма для степени простом доказана.

 

********

 

Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4

Часть 1

Уравнение  ( - четное, q = 4 = 2^m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

 

Часть 2

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

**********

 

Часть первая (Утверждения 2)

 

Уравнение  ( - четное, q = 4 = 2^m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

 

Доказательство

Итак, имеем уравнение  (1), где - четное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:  =>  (2).

 Пусть  (3), где  и β - целые числа, отличные от нуля и c² + b² = 2 β (4), где β – нечетное число при c и b- нечетных.

*********

Примечание

То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.

Представим нечетные числа b и c в виде:

b = 2n₁ + 1; c = 2n₂ + 1,

где n₁ и n₂ - произвольные целые числа. Тогда

b² + c² = (2n₁ + 1)² + (2n₂ + 1)² = 2 [2 (n₁²+n₂²+n₁+n₂) + 1],

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать.

 

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):

= , где c² + b² ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.

 (5),

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа (при – целое число k - четное число, т.к.  пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2^l-2k – четное число при).

Из соотношений (4) и (5) определяем b² и c²:

 =>  =>

Откуда β = b² + 2^l-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2^l-2k - четном.

*********

 

Вывод:

1.         Из соотношения (4) имеем:

(9) - нечетное число.

 

2.         Из соотношения (5) имеем:

(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.

 

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

 

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

 ,

т.е.  (11),

где  - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа  следующим образом:

(12)  - нечетное число при  - нечетном;

(13)  - нечетное число при  - нечетном;

(14)  - нечетное число при  - нечетном;

(15)  - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0  и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .

 

*******

Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

 

= С

= В

 = N

 = К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.

 

********

 

Условие1 (начало)

 

с² = С

b² = B

 = N

 

Случай «+».

(12+)  - нечетное число при  - нечетном;

(13+)  - нечетное число при  - нечетном;

(14+)  - нечетное число при  - нечетном;

(15+)  - четное число.

Казалось бы, все нормально: четность чисел  в (12+),…, (15+) совпадают при - нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

 
,

т.е.  => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

!

Т.е., вопреки «Выводу»,  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при - четном.

Однако, если  - четное, то  (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2)  и (1)  числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

********

 

Вывод. Следовательно, это уравнение (1)  в данном Условии 1 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах, где - четное натуральное число.

 

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)

 

********

 

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.

********

Т.к. уравнение (11) симметрично для с² и b², (для уравнения (11) они равнозначны), то с² и b² могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.

 Условие 2 (начало)

с² = В

b² = С

 = N

 

«Новые» случаи «+» и «-».

(12´±) c²=± В

(13´±) b²=±С

(14±) =± N

(15±) =±К.

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в ((12´±) и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

 

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

*******

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.

 

********

 

Уравнение (11) симметрично и для  и для  (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством  и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых  и  меняются своими выражениями (N и К)).

 

Условие 3.

 

с² = С

b² = B

 = К

 

« Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c² = ± () = ± С

(13±) b² = ± () = ± В

(14´±) =  = ±К

(15´±)  = ± N

Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±)  = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

 

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же  = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

 

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

 

 *******

Вывод

 

1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1)  (1), где - четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения 2» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.

 

*********

 

Часть вторая (Утверждения 2)

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

 

Доказательство

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо  (из ), либо  (из ), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.

Условие 1 (продолжение).

Случай 1.

 (12)

 (13′)

 (14)

 (15) ,

которые также являются решениями уравнения (11)

 

.

Тогда сумма имеет вид:

 

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

  => .

Выразим из (17) и (16) :

 =>

 => .

По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (4) c² + b² = 2 β, то  => .

Из (15) с учетом (20) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

,

 

выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

 т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (23), получим значение для b²:

 , т.к. из (20) получается

(20′).

Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

********

 

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим

 => .

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:

 

, ,

 (28), ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

 

*******

 

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.

(30´), => c =  (30´),  (29´)

 (28´), => b = 1 (28´),  (24´), где

- взаимно простые нечетные целые числа.

 

Случай 3

 

 (12)

 (13′)

 (14)

 (15′) ,

 которые также являются решениями уравнения

  (11).

Тогда сумма имеет вид:

 

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

- => .

Выразим из (31) и (16) :

 =>  (32)

 => (33).

По условию  должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 (34), (35), а их сумма .

Т.к. из (4) c² + b² = 2 β, то  и .

Из (15´) с учетом (20) выразим :

, т.е.  (24´).

Т.о., , ,

где, т.е.

,

,

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

 

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b²:

,т.к. из (20) получается

.

Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

 

*******

 

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим  => (29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25´)):

, т.е.  (30´´).

Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:

 

(30´´), ,

  (28),  (24´),

где  - взаимно простые нечетные целые числа.

 

***********

 

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.

 

 (30´´´), =>  (30´´´),  (29´´´),  (28´), => b =  (28´),  (24),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

 

*******

 

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

 = N

 = К.

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)

3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).

Рассмотрим еще 4 случая.

5. с² = С 6. с² = - С 7. c² = C 8. c² = -C

b² = - B b² = B b² = - B b² = B

 = - N  = N  = - N  = N

   

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15) , которые также являются решениями уравнения

 (11)

Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):

 (41), , где - взаимно простые нечетные целые  (40),  (38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

 

 (32) => b (32), (24)

 (31) => с =  (31),  (29´) ,

где  взаимно простые целые нечетные числа.

 

*******

 

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.

 (31´),  (29),

  (32´),  (24´), где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

 

*******

Случай 7

 

 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15´), которые также являются решениями уравнения

  (11).

Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):

 

 (40),  (38´´´),

 (41´´),  (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

 

 (31) => с =  (31),  (29´´´) ,

 (32´) => b (32´´),  (24´),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

 

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.

 (31´),  (29´´),

 ,  (24), где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

 

********

 

Вывод

 

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

а) ; b; ; ;

б) ; ; ; .

********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2):

 

1. (16)  2. (16´)  (39´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (18´)  (38´)

(19)  (33) (19´)  (33´)

3. (16)  (39´´) 4. (16´)  (39´´´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (38´´) (18´)  (38´´´)

(19´)  (33´) (19)  (33).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2,Часть 2):

 

1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)

3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).

Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c и b в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)

с² и b² в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

********

Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и b – четные числа, чего не должно быть.

********

Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1)  (1), где - четное натуральное число, т.е. либо , либо .

 

*******

Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. - С. 13), что для четных степеней уравнения  (где , q=2 q) - показатели четные при  ≠ 0 и q ≠ 0 - натуральных, в уравнении  целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:

 

 || > 2, | | > 2, | c| > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,

т.е. в уравнении a²+ b⁴ = c⁴b  и c  => в уравнении (1) при  - четном числе b и c,

т.е. случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

 

********

 

Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.

*******

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

 

Вывод:

1. Уравнение (1) , где ≥2 - четное не имеет решений в попарно простых целых числах a, b, и c таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

 

2. «Утверждение 2» нами полностью доказано.

*******

 

Примечание

1.         Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2^m, где m = 2, распространяется и на показатель степени q=2^m при m>2 – натуральном.

2.         Если уравнение a^l+ b⁴ = c⁴, где≥2 - четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a, b, и c, то и уравнение a⁴+ b⁴ = c⁴не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).

Вывод : Великая теорема Ферма для показателя l= q= 4 доказана.

3. Результат доказательства, а именно четность чисел a, b, c в уравнении a^l+ b⁴ = c⁴ (≥2 - четное), а, следовательно, в уравнении a⁴+ b⁴ = c⁴ дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.

На основании Выводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.

 

Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.

 

********

 

Утверждение 3

 

Часть 1

Уравнение  ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2^m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

 

Часть 2

Возможны случаи: либо b = ± 1, либо c = ± 1.

 

*********

Часть первая (Утверждения 3)

 

Уравнение  ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2^m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

 

Доказательство

Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».

Итак, имеем уравнение  (1), где  ≥ 3 – нечетное натуральное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:

 =>  (2).

Пусть  (3), где  и β - целые числа, отличные от нуля и c² + b² = 2 β (4), где β – нечетное число при с и b – нечетных.

******

 

Примечание

То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).

Представим нечетные числа b и c в виде:

b = 2n₁ + 1; c = 2n₂ + 1, где n₁ и n₂ - произвольные целые числа. Тогда

b² + c² = (2n₁ + 1)² + (2n₂ + 1)² = 2 [2 (n₁²+n₂²+n₁+n₂) + 1],

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать

 

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):

= , где c² + b² ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.

 (5),

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа.

Из соотношений (4) и (5) определяем b² и c²:

 =>  =>

Откуда β = b² + 2^l-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2^l-2k - четном, т.к.  ≥ 3 – нечетное натуральное число.

 

Вывод:

1. Из соотношения (4) имеем:

(9) - нечетное число.

 

2. Из соотношения (5) имеем:

(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.

 

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

 

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

 ,

 т.е.  (11),

где  - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа  следующим образом:

(12)  - нечетное число при  - нечетном;

(13)  - нечетное число при  - нечетном;

(14)  - нечетное число при  - нечетном;

(15)  - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0  и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).

Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

 

= С

= В

 = N

 = К ,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.

 

Условие1 (начало).

 

с² = С

b² = B

 = N

 

Случай «+».

(12+)  - нечетное число при  - нечетном;

(13+)  - нечетное число при  - нечетном;

(14+)  - нечетное число при  - нечетном;

(15+)  - четное число.

Казалось бы, все нормально: четность чисел  в (12+), …, (15+) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

,

т.е.  => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

!

Т.е., вопреки «Выводу»,  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2)  и (1)  числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод. Следовательно, это уравнение (1)  в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах, где - нечетное натуральное число.

 

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)

 

*********

 

Примечание

 

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3.

 

********

Т.к. уравнение (11) симметрично для с² и b², (для уравнения 11 они равнозначны), то с² и b² могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало).

с² = В

b² = С

 = N

«Новые» случаи «+» и «-».

(12´±) c²=± В

(13´±) b²=±С

(14±) =± N

(15±) =±К.

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в ((12´±) и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

*******

 

Примечание

Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.

********

 

Уравнение (11) симметрично и для  и для  (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством  и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых  и  меняются своими выражениями (N и К)).

 

Условие 3.

 

с² = С

b² = B

 = К

 

«Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c² = ± () = ± С

(13±) b² = ± () = ± В

(14´±) =  = ±К

(15´±)  = ± N.

Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±)  = ±N= ±() только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

*******

 

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же  = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для  проведено при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

 

*******

 

Вывод

 

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1)  (1), где  ≥ 3 – нечетное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения3» (для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.

 

*********

 

Часть вторая (Утверждения3)

 

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

 

Доказательство

 

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо  (из ), либо  (из ), либо b и c – четные, чего не должно быть, либо b и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.

Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.

 

Случай 1.

 (12)

 (13′)

 (14)

 (15) , которые также являются решениями уравнения

(11) .

Тогда сумма имеет вид:

 

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

 => .

Выразим из (17) и (16) :

 =>

 => .

По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (4) c² + b² = 2 β, то  => .

Из (15) с учетом (20) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

,

выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

 т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b²:

, т.к. из (20) получается

(20′).

Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

 

********

 

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим  => .

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:

 

, ,

 (28), ,

 

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

 

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.

(30´), => c =  (30´),  (29´)

 (28´), => b = 1 (28´),  (24´), где

- взаимно простые нечетные целые числа.

 

**********

 

Случай 3.

 (12)

 (13′)

 (14)

 (15′) , которые также являются решениями уравнения

 (11).

Тогда сумма имеет вид:

 

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

- => .

Выразим из (31) и (16)  :

 =>  (32)

 => (33)

По условию  должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 (34), (35), а их сумма .

Т.к. из (4) c² + b² = 2 β, то  и .

Из (15´) с учетом (20) выразим :

 , т.е.  (24´).

Т.о. , , где, т.е.

,

,

 

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

 

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b²:

,т.к. из (20) получается

.

Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.

 

*******

 

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим  => (29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25´)):

, т.е.  (30´´).

Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:

 

(30´´), ,

  (28),  (24´),

где  - взаимно простые нечетные целые числа.

 

***********

 

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.

 

 (30´´´), =>  (30´´´),  (29´´´),  (28´), => b =  (28´),  (24), где

- взаимно простые нечетные целые числа.

 

*******

 

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

 = N

 = К

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12)  2. (12´)  (30´)

 (13´)  (28) (13)  (28´)

 (14)  (29) (14´)  (29´)

 (15)  (24) (15´)  (24´)

3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

 (13´)  (28) (13)  (28´)

 (14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

 (15´)  (24´) (15)  (24).

Рассмотрим еще 4 случая.

5. с² = С 6. с² = - С 7. c² = C 8. c² = -C

 b² = - B b² = B b² = - B b² = B

  = - N  = N  = - N  = N

    

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15) , которые также являются решениями уравнения

 

 (11).

Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):

 (41), , где - взаимно простые нечетные целые  (40),  (38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

 (32) => b (32), (24)

 (31) => с =  (31),  (29´) ,

где - взаимно простые целые нечетные числа.

 

*******

 

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.

 (31´),  (29),

 (32´),  (24´),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

 

*******

 

Случай 7.

 

 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15´), которые также являются решениями уравнения

 

 (11).

Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):

 

 (40),  (38´´´),

 (41´´),  (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

 (31) => с =  (31),  (29´´´) ,

 (32´´) => b (32´´),  (24´), где -

 

взаимно простые целые нечетные числа.

 

*********

 

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.

 (31´),  (29´´),

 ,  (24),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

Таким образом, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах:

а) ; b; ; ;

б) ; ; ; .

 

**********

Вывод

 

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

а) ; b; ; ;

б) ; ; ; .

 

********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результат полностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):

 

1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)

3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):

 

1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)

3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).

Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

*********

Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

 

либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и b – четные числа , чего не должно быть.

********

Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1)  (1), где - нечетное натуральное число, т.е. либо , либо , которые таковыми и являются.

 

*******

 

Вывод: 2-я часть «Утверждения 3» доказана.

В результате исследования уравнения (1), мы имеем:

Вывод:

 

1. Уравнение (1)  ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2^m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо , либо .

2. «Утверждение 3» нами полностью доказано.

 

*******

 

Примечание

Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение a^l+ b⁴ = c⁴ при ≥ 3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 ^m , где m = 2, распространяется и на показатель степени q = 2 ^m , где m > 2 – натуральном.

**********

На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость «Общего утверждения».

 

ОБЩИЙ ВЫВОД

 

1. Уравнение  (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел ,  и может быть либо , либо .

Таким образом, «Общее утверждение» доказано.

ЛИТЕРАТУРА:

 

1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23.

2.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 - С. 13.

Май 2009 г., Скворцов А.П.

Уважаемые любители математики и специалисты!

Если не трудно, попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.

Если в ней есть что-то стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.

Я убежден, что примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых других уравнений на их разрешимость в целых числах.

Предлагаю вашему вниманию перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены специалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г. Колпашева. А работа по физике (я сам учитель физики) о существовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация и время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса» №4-2004 г.

Работы по математике:

1.         Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двух других отрезков.

2.         Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двух других отрезков.

3.         Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

4. Решение уравнения  в целых числах при - натуральном.

5. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р₁+ р₂ = р₃, где произведение р₁ р₂ р₃ = R³, R – рациональное число (или рациональная функция), р₁, р₂ и р₃могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.

6. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы

 

р₁+р₂+р₃ =р₄

р₁ р₂ р₃ р₄ =  ,

 

где k может принимать значения k = 1; 2; 3; 4, и р₁, р₂ , р₃и р₄ могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.

Мне можно писать по электронному адресу: skvorsan@mail.ru

Мой почтовый адрес: 636460 г. Колпашево Томской обл.,

 м/р-н Геолог, д.18, кв.11

 тел.: 8 (38 254) 5 79 59.

С уважением, А.П. Скворцов.