Уравнения в вариациях

1.2      Уравнения в вариациях

Рассмотрим задачу Коши:

(14)

(15)

где  - параметры. В дальнейшем мы рассмотрим функционалы, зависящие от параметров  через решение задачи Коши (14),(15). Тогда градиентные уравнения будут зависеть от производных по  решения задачи (14),(15), и мы должны уметь их вычислять. Дифференцируя уравнения (14), (15) по  получаем, что функции

 (16)

удовлетворяют следующей задаче Коши:

(17)

(18)

Уравнения (17) относительно производных (16) называют уравнениями в вариациях для уравнений (14).

1.3      Функционалы метода наименьших квадратов

Мы не можем рассмотреть здесь все многообразие функционалов метода наименьших квадратов и ограничимся одним достаточно общим функционалом. Он соответствует следующей задаче: модель некоторого процесса описывается задачей Коши (14),(15) (такие модели, в частности, достаточно распространены в биологической кинетике), даны измерения

, (19)

то есть даны  приближений для значений величин  в моменты времени , и требуется найти параметры  на основе заданного начального приближения .

В методе наименьших квадратов нахождения (идентификации) параметров  рассматривают функционал

(20)

где  - фиксированные весовые коэффициенты, а  - значения первых  компонент решения задачи (14),(15) в точке  при заданных

В методе наименьших квадратов полагают, что значение , доставляющее минимум этой функции , является адекватным приближением к реальному значению параметра  для принятой модели процесса.

Для того, чтобы воспользоваться методом градиентных уравнений, необходимо выписать уравнения (7) для функционала (20):

 (21)

Эти градиентные уравнения надо дополнить начальными условиями:

(22)

1.4      Численное решение градиентных уравнений

Обратимся к функционалу , , определенному в п.1.3. Пря-мой способ нахождения приближенного значения точки , определенной по формуле (17) (то есть точки предполагаемого минимума функционала ), – это численное интегрирование градиентных уравнений (21) при начальных условиях (22).

Правые части уравнений (21) зависят от неизвестных  через значения функций  в точках  при , , . При фиксированных значениях  величины  могут быть получены численным интегрированием уравнений (14),(17) при начальных условиях (15),(18).

Таким образом, нам надо обсудить численные методы интегрирования за-дачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Наиболее рас-пространены пошаговые методы, которые позволяют для задачи Коши

, (23)

, (24)

отправляясь от значения , последовательно получать приближенные значения  решения в точках

Числа  называют шагами интегрирования, а числа ,…- узлами таблицы или сетки численного интегрирования. Совокупность узлов называют сет-кой, а величины  называют значениями решения на узлах сетки. Если  то говорят о равномерной сетке или об интегрировании с постоянным шагом.

Численное интегрирование градиентных уравнений, как правило, требует частой смены величины шага интегрирования. Хорошо к быстрой смене шага приспособлены явные методы Рунге-Кутта и метод рядов Тейлора.

Пошаговые методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо освещены в литературе по численному анализу (см., например, [2,3]).

Похожие работы

Устройства генерирования и канализации субмиллиметровых волн

Скачать

117222

0

10

... , то необходимость в дополнительной линии передачи вообще отпадает при передаче энергии на сотни километров, поскольку вся излучаемая энергия может быть перехвачена приемным устройством с апертурой приемлемых размеров. В диапазоне субмиллиметровых волн отношение допустимых размеров апертур к длине волны заметно уменьшается, тем не менее в ряде случаев подобные квазиоптические линии передачи могут ...