ГИПОТЕЗА КУЗНЕЧНЫХ МЕХОВ

4. ГИПОТЕЗА КУЗНЕЧНЫХ МЕХОВ

Теорема. Всякая замкнутая многогранная поверхность, не имеющая самопересечений, ограничивает в трехмерном пространстве некоторое тело конечного объема. Гипотеза кузнечных мехов состоит в том, что если мы имеем дело с изгибаемой замкнутой многогранной поверхностью, то объем этого тела остается постоянным в процессе изгибания.

Рис.14

При изгибании объёмы изгибаемых многогранников остаются постоянными. Для многогранника Штеффена это утверждение представляется довольно очевидным ввиду полной симметрии движений: грани одной «половины» многогранника движутся так, что движения граней другой его «половины» восполняют изменяемый при этом объём. Для более убедительного доказательства воспользуемся тем фактом, что обобщённый объём изгибаемых октаэдров Брикара равен нулю (примем это без доказательства). Изменим многогранник Штеффена следующим образом. Добавим две грани DCN1 и DCN₂ и с их помощью образуем многогранник R, составленный из двух октаэдров Брикара (без грани SDC). Комбинаторно это представляется так: у двух многогранников убрали две конгруентные треугольные грани и склеили их вдоль двух одинаковых границ образовавшихся отверстий (рис. 14); в нашем случае убираемой (исчезнувшей) гранью является грань SCD. Обобщённый объём многогранника R равен нулю как сумма двух нулевых объёмов. Оставшаяся часть многогранника Штеффена вместе с добавленными гранями образует новый тетраэдр с вершинами N₁, D, C, N₂. Следовательно, объём многогранника Штеффена в любом его положении в процессе изгибания равен объёму тетраэдра с постоянными длинами рёбер, т. е. в ходе изгибания он не изменяется.

Что касается объёмов изгибаемых многогранников из первых двух примеров, то постоянство их объёма тоже можно доказать, или применяя указанный выше факт о равенстве нулю обобщённого объёма любого октаэдра Брикара или проводя довольно длинные вычисления.

Факт неизменности объёма в построенных примерах изгибаемых многогранников естественно привёл к вопросу о справедливости этого свойства для любого изгибаемого многогранника. Коннелли назвал предположение о постоянстве объёма изгибаемого многогранника в ходе его изгибания «гипотезой кузнечных мехов». Происхождение этого термина очень простое. Вспомним из физики закон Бойля—Мариотта, который утверждает, что в газах произведение давления на объём постоянно, т. е. pV = const, где p — давление, V — объём газа. Следовательно, если V= const, то и p = const, поэтому гипотезу кузнечных мехов по другому можно переформулировать так: математически идеальные кузнечные мехи нельзя сделать в виде изгибаемого многогранника с отверстием на грани, так как из таких мехов воздух дуть не будет. Эта гипотеза была сформулирована в 1977—78 гг. рядом авторов. Попытки её опровержения путём построения контрпримеров не привели к успеху, наоборот, все новые примеры изгибаемых многогранников, которые удалось построить, только подтвердили факт неизменности объёма. Теперь ясно, что её и нельзя было опровергнуть. На самом деле, основная теорема об объёме многогранника говорит, что для множества многогранников с данным комбинаторным строением и данным набором длин рёбер существует лишь конечное число возможных значений объёма — все они должны быть среди корней полиномиального уравнения, которых, по известной теореме алгебры, не больше, чем степень полинома. А так как при изгибании происходит непрерывная деформация многогранника, то и объём должен быть непрерывной функцией параметра деформации. А непрерывная функция, которая может принимать только конечное число значений, обязана быть постоянной! Как видим, гипотеза кузнечных мехов, около 20 лет считавшаяся одной из самых красивых и трудных задач метрической теории многогранников, оказалась простым следствием основной теоремы, являющейся обобщением формулы Герона на объёмы многогранников.

Только представьте себе: многогранная поверхность Штеффена будет изгибаться, даже если, сделав ее герметичной, вы заполните ее несжимаемой жидкостью! Из гипотезы кузнечных мехов, в частности, следует, что мехи аккордеона или баяна, заставляют эти инструменты звучать за счет хотя и малых, но все же реальных растяжений и сжатий материала мехов.

Возникает естественный вопрос: имеются ли другие количественные характеристики многогранной поверхности, которые сохраняются в процессе изгибания? Тривиальный пример такой количественной характеристики — площадь поверхности. Значительно менее тривиальный пример строится так. Внутренним двугранным углом при данном ребре замкнутой многогранной поверхности назовем величину двугранного угла при этом ребре, измеренную со стороны тела конечного объема, ограниченного данной поверхностью. Умножим длину ребра многогранной поверхности на величину внутреннего двугранного угла при нем и просуммируем результат по всем ребрам данной замкнутой многогранной поверхности. Полученное число называется средней кривизной многогранной поверхности.

В 1985 году американский математик Р. Александер установил, что любая замкнутая изгибаемая многогранная поверхность сохраняет свою среднюю кривизну в процессе изгибания.

Однако, теорема кузнечных мехов до сих пор не доказана для многогранников в многомерных пространствах. Это удивительно, так как в многомерных пространствах изгибаемость многогранников и вообще поверхностей существенно более редкое явление чем в трёхмерном пространстве.