ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ

6 ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ

В 1897 году Р. Брикар описал все изгибаемые октаэдры. Из теоремы Коши вытекает, что ни один из них не может быть выпуклым. Согласно установившейся традиции, изгибаемые октаэдры, называемые также октаэдрами Брикара, классифицируют относя каждый из них к одному из трех типов. Нам потребуется октаэдр Брикара лишь одного типа. Его построение будем объяснять в виде рекомендаций по склеиванию модели из картона.

Рис.16 рис.17

Нарисуем на картоне фигуру, изображенную на рис. 16 и состоящую из шести треугольников. Буквы a, b, c и d обозначают длины соответствующих сторон. Хорошо подходят значения a = 12, b = 10, c =5 и d = 11. Вырежем нарисованную фигуру по сплошным линиям и согнем по штриховым. Два левых треугольника, имеющие стороны длины c отогнем из плоскости рисунка на себя и склеим между собой вдоль стороны длины c. Два правых треугольника со сторонами длины c отогнем из плоскости рисунка от себя и приклеим их друг к другу вдоль стороны длины c. В результате получится невыпуклая незамкнутая многогранная поверхность P, изображенная на рис. 17. Сплошными линиями на нем изображены видимые ребра многогранной поверхности P, штриховыми — ребра, заслоненные гранями поверхности P. Ребра AE, ED, DF и AF составляют границу P, к каждому из них прилегает лишь одна грань поверхности P.

Также можно легко сконструировать реберную модель октаэдра Брикара из тонких пластиковых трубочек для питья, нанизав их соответствующим образом на нитки

7 СВОЙСТВА ОКРАЭДРА БРИКАРА

Основные свойства

Многогранная поверхность называется октаэдром Брикара, если как и обычный октаэдр, она имеет 6 вершин (A, B, C, D, E и F), 12 ребер (AB, AD, AE, AF, BC, BE, BF, CD, CE, CF,DE и DF) и 8 граней (ABE, ABF, BCE, BCF, CDE, CDF,ADE и ADF). Вместе с тем октаэдр Брикара является невыпуклым, изгибаемым и имеет самопересечения.

Лемма 1. Пусть в пространстве дан четырёхугольник ABCD с равными противоположными сторонами AB = CD, AD=BC. Тогда у этого четырёхугольника есть ось симметрии, проходящая через середины диагоналей AC и BD, а в частном случае, когда четырёхугольник является параллелограммом, ось симметрии проходит через точку пересечения диагоналей перпендикулярно плоскости параллелограмма.

Рис.18

Эта лемма позволяет нам описать изгибаемый октаэдр Брикара первого типа. Рассмотрим четырёхзвенный механизм ABCD (т. е. четыре стержня, соединённые шарнирами и имеющие возможность вращаться вокруг них) и удовлетворяющий условиям леммы 1. Пусть l — его ось симметрии. Пусть N — произвольная точка пространства, отличная от A, B, C, D и не лежащая на оси l (рис. 18, а и б изображают два разных вида четырёхугольника ABCD, дающих четырёхгранный угол NABCD без самопересечений и с самопересечениями, соответственно). Соединим N с вершинами четырёхзвенника ABCD и полученные «проволочные» треугольники NAB, NBC, NCD, NDA заклеим плоскими треугольниками (эта операция образно называется «обшивкой каркаса гранями»). Получится четырёхгранный угол с известными длинами рёбер. Этот четырёхгранный угол при фиксированных длинах рёбер может изгибаться, причём его нетривиальные изгибания определяются изменяющимся значением одного параметра — угла a = ZABC. Действительно, угол a определяет положение треугольника ABC на плоскости p, а знание расстояний от трёх точек A, B, C до N определяет положение N однозначно (на самом деле точка N может иметь два положения, симметричных относительно плоскости p, но мы рассматриваем только непрерывные изменения исходного положения точки N), а знание положения точек A, B, N и расстояний от них до D однозначно определяет непрерывные изменения положения точки D.

 Изгибаемость

Почему октаэдр Брикара изгибаем? Половинка октаэдра, очевидно, изгибается. Вторая половинка получается из первой поворотом вокруг оси, и, следовательно, ее деформация в точности повторяет деформацию первой половинки. Значит, и весь октаэдр Брикара изгибаем.

Рис.19

Очевидно, многогранная поверхность P является изгибаемой: если треугольник BCE фиксировать в пространстве, то точку F можно двигать так, как показано стрелками на рис. 19. При этом положение точек A и D в пространстве также будет меняться, но, что особенно важно, расстояние между точками A и D будет оставаться постоянным.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим двугранный угол S, одной гранью которого служит полуплоскость s₁, проходящая через точку B и ограниченная прямой EF, проходящей через точки E и F, а другой гранью — полуплоскость s₂, проходящая через точку C и ограниченная прямой EF. Повернем полуплоскость s₁ вокруг прямой EF так, чтобы новая полуплоскость t₁ проходила через точку A. В соответствии с рис. 18 для этого надо повернуть s₁ "на себя" на величину двугранного угла тетраэдра ABEF при ребре EF. Аналогично повернем полуплоскость s₂ вокруг прямой EF так, чтобы новая полуплоскость t₂ проходила через точку D. Следуя рис. 19, для этого надо повернуть s₂ "от себя" на величину двугранного угла тетраэдра CDEF при ребре EF. Однако при любом положении точки F тетраэдры ABEF и CDEF имеют соответственно равные стороны. Поэтому тетраэдры ABEF и CDEF равны, в частности равны между собой двугранные углы этих тетраэдров при ребре EF. Значит, двугранный угол T, образованный полуплоскостями t₁ и t₂, равен двугранному углу S. Таким образом, мы получаем, что в тетраэдрах BCEF и ADEF пять сторон попарно равны между собой (BE = AF, BF= AE, CF= DE, CE = DF и EF-общая сторона) и, кроме того, равны между собой двугранные углы T и S, противолежащие шестой стороне (то есть BC и AD соответственно). Следовательно, тетраэдры BCEF и ADEF равны между собой, а значит, AD = BC = d для любого положения вершины F, что и утверждалось выше.

Рис.20

Поскольку длина отрезка AD постоянна при всевозможных положениях вершины F, то к многогранной поверхности P можно приклеить два картонных треугольника ADE и ADF, причем получившаяся при этом поверхность Q будет по-прежнему изгибаемой. Это приклеивание, конечно, не может быть осуществлено реально: например, грани ADE и BCE при этом пересекутся по линии, не являющейся ребром многогранной поверхности Q; при изгибании поверхности Q эта линия будет менять свое положение на каждой из граней ADE и BCE, что не поддается изображению на картонной модели.

Идея Брикара очень остроумна. Возьмем в пространстве четырехугольник ABCD с попарно равными противоположными сторонами: АВ = CD, ВС = = AD. Если ABCD лежит в плоскости, то это - знакомый нам параллелограмм. Пусть ABCD - пространственный четырехугольник, т.е. вершины А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Его диагонали АС и BD лежат на скрещивающихся прямых. Проведем через середины О₁ и О₂ диагоналей прямую (рис. 20). Так как в четырехугольнике ABCD противоположные стороны равны, то прямая, как нетрудно показать, перпендикулярна обеим диагоналям.

В силу этой перпендикулярности при повороте вокруг прямой на 180° вершины A и С, а также В и D меняются местами и, следовательно, четырехугольник ABCD переходит в себя. Заметим, что в предельном случае, когда многоугольник становится плоским параллелограммом, точки О₅ и О₂ сливаются в одну точку, а прямая переходит в прямую, проходящую через точку пересечения диагоналей параллелограмма перпендикулярно его плоскости.

Симметрия

Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.

Рис.21

Возьмем вне прямой какую-нибудь точку S и построим четыре треугольника SAB, SBC, SCD и SDA (рис. 21 а). Эти треугольники (точнее, их плоскости) образуют четырехгранный угол. Из школьного курса геометрии известно, что плоские углы трехгранного угла задают его двугранные углы, а следовательно, и весь трехгранный угол однозначно. Однако если число граней у многогранного угла больше трех, то такой однозначности нет. Очевидно, что четырехгранный угол SABCD при фиксированных плоских углах допускает непрерывную деформацию (изгибание). При таком изгибании четырехугольник ABCD деформируется в четырехугольник с соответственно такими же сторонами и соответствующей осью симметрии.

При повороте вокруг оси на 180° четырехгранный угол SABCD переходит в конгруэнтный угол S_XCDAB (рис. 21 б). Совокупность 8 треугольников удовлетворяет всем трем условиям в определении многогранника. Правда, некоторые грани этого многогранника пересекают друг друга.

 Объем

При изгибании октаэдр Брикара не изменяет своего объема. Его можно вычислить с помощью теоремы Сабитова. Она устанавливает связь между длинами ребер многогранника и его объема. Существует многочлен:

коэффициенты a₁,…,a_n которого выражаются при помощи четырех арифметических действий через длины ребер l₁,…,l_p многогранника. Сделав подстановку в формулу получим многочлен F(x) с конкретными числовыми коэффициентами. Теорема Сабитова утверждает, что объем данного многогранника (октаэдра Брикара) есть один из корней этого многочлена.