Решить линейное уравнение 1-го порядка

2. Решить линейное уравнение 1-го порядка

Ищем решение уравнения в виде произведения двух функций:

При этом:

После подстановки в исходное уравнение имеем:

Чтобы коэффициент при u обратился в 0, в качестве v выбираем функцию удовлетворяющую уравнению:

Найдем функцию u, которая должна удовлетворять уравнению:

:

Решение запишется в виде:

3

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение ищем в виде:

, где  - общее решение соответствующего однородного уравнения,  - частное решение.

Найдем

Решим однородное дифференциальное уравнение

Характеристическое уравнение для него:

Это квадратное уравнение

d=36-100=-64 – дискриминант отрицательный, корни комплексные:

k1=3-4i ; k2=3+4i

Общее решение, следовательно, имеет вид:

,

где  - константы.

Ищем частное решение. Функция свободного члена имеет вид:

, где a=2,b=3,k=1,p=-6,q=25

При этом , следовательно, частное решение ищем в виде:

Находим его производные первого и второго порядка и подставляем в уравнение:

Для нахождения коэффициентов А и В решим систему:

A=0,07, B=0,16

Таким образом, окончательное решение уравнения имеет вид:

IV. Ряды

1.         Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

 

Рассмотрим ряд:

Это степенной ряд с основанием меньшим 1, а он заведомо сходится.

Теперь сравним члены ряда  с членами ряда

 при n>4 , значит ряд  также сходится.

2.         Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

Исследуем на абсолютную сходимость (сходимость ряда, состоящего из модулей членов знакопеременного ряда) значит необходимый признак сходимости выполняется.

,

Сравним член этого ряда с членом заведомо расходящегося гармонического ряда:

, следовательно наш ряд расходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость:

Так как условия признака Лейбница выполнены

 

данный ряд сходится условно.

3. Найти область сходимости функционального ряда

, перепишем его в виде:

Член данного ряда представляет собой член степенного ряда, помноженный на член гармонического ряда.

Для расходящегося гармонического ряда выполняется однако основной признак сходимости (его член стремится к нулю), так что сходимость функционального ряда  определяется сходимостью степенного ряда: , причем при любом x это будет знакопостоянный ряд.

Cтепенной же ряд сходится когда его член по модулю <1:

Решаем это модульное неравенство и находим область сходимости функционального ряда :

Итак, область сходимости функционального ряда :