Канонический вид произвольных линейных преобразований

ЗАПАДНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. УТЕМИСОВА

Кафедра математики

КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(курсовая работа)

Содержание

 

Введение

1. Нормальная форма линейного преобразования

2. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме

2.1 Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования

2.2 Выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение

2.3 Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением

3. Инвариантные множители

Заключение

Литература

Введение

«Человек утверждается на земле, постигая тайны явлений природы или делая определенные умозаключения».

Абай, слова назидания, Слово 7.Перевод С. Санбаева.

Мною была выбрана тема для курсовой работы «Канонический вид произвольных линейных преобразований», так как курс линейной алгебры читается на механико-математическом факультете университетов, что непосредственно связано не только с моей специальностью магистранта, но также и с моей работой преподавателем математики в педагогическом институте. И поэтому для меня эта тема является очень важной и актуальной.

Обычно мы изучаем различные классы линейных преобразований n – мерного пространства, имеющих n линейно независимых собственных векторов. Матрица базиса, состоящего из собственных векторов линейного преобразования, имеет особенно простой вид (диагональную форму).

Но число линейно независимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше, чем n. А такое преобразование не может быть приведено к диагональной форме. Моя же работа дает ответ на возникший вопрос: каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования? Курсовая работа подробно описывает канонический вид произвольных линейных преобразований, а именно:

1)         нормальную форму линейного преобразования;

2)         применение произвольного преобразования к нормальной форме:

а) собственные и присоединенные векторы линейного преобразования;

b) выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение;

с) приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением;

3)         инвариантные множители.

Каждый раздел содержит определения, примеры, упражнения

1. Нормальная форма линейного преобразования

 

Мы знаем, что в базисе, состоящем из собственных векторов линейного преобразования n-мерного пространства, его матрица имеет особенно простой вид, так называемую диагональную форму.

Однако число линейно независимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше, чем n. Такое преобразование заведомо не может быть приведено к диагональной форме, так как базис, в котором матрица преобразования диагональна, состоит из собственных векторов. Возникает вопрос: каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования?

В этой работе для произвольного преобразования указан базис, в котором его матрица имеет сравнительно простой вид (так называемая жорданова нормальная форма). В случае, когда число линейно независимых собственных векторов преобразования равно размерности пространства, эта нормальная форма совпадает с диагональной. Сформулируем окончательный результат.

Пусть задано произвольное линейное преобразование А в комплексном пространстве n измерений. Предположим, что у А имеется k (k £ n) линейно независимых собственных векторов

 

e₁, f₁, … , h₁,

соответствующих собственным значениям l₁, l₂, … , l_k. Тогда существует базис, состоящий из k групп векторов:

 

e₁, … , e_p; f₁, … , f_q; … ; h₁, … , h_s, (1)

 

в котором преобразование А имеет следующий вид:

 

Ae₁ = l₁e₁, Ae₂ = e₁ + l₁e₂, … , Ae_p = e_p-1+ l₁e_p;

Af₁ = l₂e₁, Af₂ = f₁ + l₁f₂, … , Af_q = f_q-1+ l₂f_q; (2)

Ah₁ = l_kh₁, Ah₂ = h₁ + l_kh₂, … , Ah_s = h_s-1+ l_kh_s.

 

Мы видим, что базисные векторы каждой группы переходят при нашем преобразовании в линейную комбинацию векторов той же группы. Отсюда следует, что каждая группа базисных векторов порождает подпространство, инвариантное относительно преобразования А. Рассмотрим несколько подробнее преобразование, задаваемое формулами (2).

В подпространстве, порожденном каждой группой, есть собственный вектор; например, в подпространстве, порожденном векторами е₁, е₂, … , е_р, таким собственным вектором является е₁.

Вектор е₂ называют присоединенным собственным вектором первого порядка. Это значит, что Ае₂ пропорционально е₂ с точностью до собственного вектора, как это видно из равенства

Ae₂ = l₁e₂ + e₁.

 

Аналогично е₃, е₄, … называют присоединенными векторами второго, третьего и т. д. порядков.

Каждый из них является «как бы собственным», т. е. собственным с точностью до присоединенного вектора низшего порядка

Ae_k = l₁e_k+ e_k-1.

 

Таким образом, базис каждого инвариантного подпространства состоит из одного собственного вектора и такого количества присоединенных, которое нужно добавить, чтобы получить базис данного подпространства.

В каждом из этих подпространств имеется , с точностью до множителя, лишь один собственный вектор.

Теорема. Пусть в комплексном n – мерном пространстве задано линейное преобразование А. Тогда можно найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет нормальную форму. Другими словами, можно найти базис, в котором линейное преобразование имеет вид (2).