Навигация
Линейные системы уравнений
21092
знака
0
таблиц
9
изображений
Реферат
Тема: «Линейные системы уравнений»
Содержание
1. Уравнения, векторы, матрицы, алгебра
2. Умножение матриц как внешнее произведение векторов
3. Нормы векторов и матриц
4. Матрицы и определители
5. Собственные значения и собственные векторы
6. Ортогональные матрицы из собственных векторов
7. Функции с матричным аргументом
8. Вычисление проекторов матрицы
Пример использования числовых характеристик матриц
10. Оценка величины и нахождение собственных значений
Литература
1. Уравнения, векторы, матрицы, линейная алгебра
Многие из рассмотренных нами задач сводились к формированию систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений, которые требовалось решить. Пока системы включали в себя не более трех-четырех переменных, их несложно было решать известными классическими методами: методом определителей (Крамера) или методом исключения переменных (Гаусса). С появлением цифровых вычислительных машин порядок алгебраических уравнений, решаемых методом исключений вырос в несколько десятков раз. Однако выявилось множество причин, по которым решение таких систем получить не удавалось. Появившиеся различные модификации метода исключения не привели к существенным улучшениям ситуации с получением решений. Появление же систем с количеством переменных более многих сотен и тысяч заставили обратиться и развивать итерационные методы и методы эквивалентных векторно-матричных преобразований применительно к решению линейных систем алгебраических уравнений.
Основные теоретические результаты были получены путем обобщения известных классических методов функционального анализа и алгебры конечномерных линейных пространств на векторно-матричные представления систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.
Общая форма записи линейной системы алгебраических уравнений с n неизвестными может быть представлена следующим образом:
Здесь 
– неизвестные,
– заданные числа,
– заданные числовые коэффициенты.
Последовательность записи уравнений в системе и обозначение неизвестных в последней не играет роли. В этом плане удобно при анализе и исследованиях системы использовать упорядоченную индексацию натурального ряда для неизвестных, значений правых частей и коэффициентов в уравнениях, однозначно привязывая, тем самым, каждое слагаемое и каждое уравнение к определенной позиции в общей записи. В результате можно выделить в данной записи уравнений три позиционно упорядоченных неделимых объекта:
список переменных – 
,
список правых частей – 
и
матрицу коэффициентов – 
.
Первые два объекта в линейной алгебре называют вектором-строкой, а второй – квадратной матрицей.
Операции с векторами, матрицами должны быть определены так, чтобы однозначно отображать допустимые эквивалентные преобразования исходной системы алгебраических уравнений. В предельных случаях задания векторов и матриц: 
, 
– аддитивные и мультипликативные операции должны переходить в аналогичные операции со скалярными величинами.
Если рассмотреть i-тую строку исходной системы
,
то в ней кроме упорядоченного расположения компонент 
присутствует упорядоченное по индексу j размещение коэффициентов 
, которые могут рассматриваться как вектор-строка 
. Результатом суммы покомпонентного перемножения двух векторов-строк должно быть число. В линейной алгебре такая операция с векторами определена и названа скалярным или внутренним произведением векторов:
.
Скалярное произведение линейно, так как обладает основными свойствами линейных преобразований 
, и коммутативно.
Определение скалярного произведения позволяет переписать исходную систему уравнений в виде вектора с компонентами из скалярных произведений:
или
.
Вторая форма представления векторов в форме столбцов более наглядна в смысле зрительного установления покомпонентного равенства двух векторов: стоящего слева от знака равенства и справа. Эта форма, форма вектора-столбца принята за каноническую (основную).
Левый вектор-столбец в записи каждой строки содержит вектор неизвестных и естественно желание вынести его за прямые скобки. Оставшиеся коэффициенты упорядочены, как в матрице 
. Теперь для представления исходной системы уравнений в виде 
несложно определить векторно-матричную операцию 
, результатом которой является вектор с i-той компонентой, равной 
.
Аксиоматическое построение линейной (векторной) алгебры с рассмотренными базовыми операциями позволило установить важные и полезные свойства, как самих объектов алгебры, так и их алгебраических выражений.
Похожие работы
в первом столбце. Матрице соответствует множество решений системы линейных уравнений Ответ: получили решение: Задача 2 Даны координаты вершин треугольника АВС Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты CD; 6) ...
... решение линейного интегрального уравнения составим алгоритм. Представим алгоритм в виде блок-схемы. y[i]=B[i,m]; Используя данную блок-схему, напишем соответствующую функцию. Функция решения линейных интегральных уравнений будет реализована на С++. bool solvefredholm2(const double& a, const double& b, const int& n, ap::real_1d_array& y, ...
... шаг интегрирования ; tp – время интегрирования трех точечным методом прогноза и коррекции , ta – время интегрирования по методу Адамса-Башфорта , NU – массив начальных условий . Данная процедура способна производить решения систем линейных дифференциальных уравнений произвольного размера , на произвольном промежутке времени интегрирования . Вычисленные данные записываются в файлы prandcom*.df . ...
... понятия собственного числа линейного оператора А. 120. Определите, каким является базис а=(1/, 1/,1/), b=(1/, -1/, 0), с =(1/, 1/,-2/). Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Билет № 26 121. Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса. Пример. 122. ...
0 комментариев