Навигация
Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением
17412
знаков
0
таблиц
0
изображений
2.3 Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением
В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.
В общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину.
Чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем тянуть цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве 
и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование А.
Определение. Векторы из пространства R называются относительно линейно независимыми над подпространством R1, если никакая их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит R1.
Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из R относительно линейно зависимы над любым пространством.
Определение. Базисом пространства R относительно подпространства R1 называется такая система е1, … , еk линейно независимых векторов из R, которая после пополнения каким-нибудь базисом из R1 образует базис во всем пространстве.
Такой базис легко построить. Для этого достаточно будет выбрать какой-нибудь базис в R1, дополнить его до базиса во всем пространстве и затем отбросить вектор исходного базиса из R1. Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.
Всякую систему относительно линейно независимых векторов над R1 можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства R1. Получится некоторая система векторов из R, которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве R, а затем отбросить базис подпространства.
Итак, пусть преобразование А в пространстве R имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности можно, предположить, что оно равно нулю.
3. Инвариантные множители
Определение. Матрицы А и А1 = С-1АС, где С – произвольная невырожденная матрица, называются подобными.
Если А1 подобна матрице А2, то и обратно, А2 подобна А1. Если две матрицы А1 и А2 подобны одной и той же матрице А, то они подобны между собой.
Пусть А – матрица преобразования А в некотором базисе. При переходе к другому базису матрица А заменяется подобной ей матрицей С-1АС, где С – матрица перехода от первого базиса ко второму. Таким образом, подобные матрицы – это матрицы одного и того же линейного преобразования в различных базисах.
Лемма. Если С – произвольная невырожденная матрица, то общие наибольшие делители миноров k-го порядка матриц А - lЕ и С(А - lЕ) совпадают. Аналогичное утверждение имеет место и для (А - lЕ)С.
Лемма. У подобных матриц многочлены Dk(l) совпадают.
Так как при переходе от одного базиса к другому матрица линейного преобразования заменяется подобной, то из последней леммы вытекает следующая
Теорема. Пусть А – линейное преобразование. Тогда наибольший общий делитель Dk(l) миноров k-го порядка матрицы А - lЕ, где А – матрица преобразования А в некотором базисе, не зависит от выбора базиса.
Для того чтобы существовал базис, в котором матрица преобразования диагональна, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные множители этой матрицы имели лишь простые корни.
Теорема. Для того чтобы две матрицы были подобны, необходимо и достаточно, чтобы их инвариантные множители совпадали.
Теорема. Нормальная форма линейного преобразования однозначно определяется самим линейным преобразованием.
Заключение
«Образность того или иного явления или предмета, прочность закрепления его в памяти находится в прямой зависимости от силы впечатления произведенного этим предметом или явлением.»
Абай, Слова назидания, Слово 43.
А., 1982. Перевод С.Санбаева.
Курсовая работа, описывающая канонический вид произвольных линейных преобразований, включает в себя 3 небольших раздела. Каждый раздел содержит необходимые определения, подробно разобранные примеры, упражнения с подробно разобранными решениями..
В основном курсовая работа написана по Гельфанду И.М. «Лекции по линейной алгебре». Также помогали в написании этой работы Гельфанду И.М. и самостоятельно занимались этим разделом алгебры (и не только): Граев М.И., Пономарев В, Шапиро З.Я., Курош А.Г., Фомин С.В., Цетлин М.Л., Турецкий А.Е. и Райков Д.А.
Эту курсовую работу можно использовать для чтения лекций по линейной алгебре, а именно раздела курса: линейные преобразования. Конечно же, при чтении лекции полностью на эту работу опираться нельзя, так как она не охватывает все виды линейного преобразования и требует определенного дополнения.
Литература
1. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., 1971.
2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1971.
3. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М., 1956.
4. Шимов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. М.-Л., 1952.
Похожие работы
... понятия собственного числа линейного оператора А. 120. Определите, каким является базис а=(1/, 1/,1/), b=(1/, -1/, 0), с =(1/, 1/,-2/). Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Билет № 26 121. Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса. Пример. 122. ...
... его за прямые скобки. Оставшиеся коэффициенты упорядочены, как в матрице . Теперь для представления исходной системы уравнений в виде несложно определить векторно-матричную операцию , результатом которой является вектор с i-той компонентой, равной . Аксиоматическое построение линейной (векторной) алгебры с рассмотренными базовыми операциями позволило установить важные и полезные свойства, как ...
... (3.3) известен. Он состоит из компонент и имеет единичный базис Б = = E. Решая вспомогательную задачу первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4), в силу ограниченности линейной формы сверху на множестве своих планов () получим, что процесс решения через конечное число шагов приведет к оптимальному опорному плану вспомогательной задачи. Пусть - оптимальный опорный ...
... на встроенном языке среды MatLAB, позволяющее решать линейные программы симплексным методом с учетом приведенного выше теоретического материала. Несмотря на то, что в поставляемом вместе с MatLAB пакете программ Optimization Toolbox имелась функция linprog реализующая решение линейных задач, было принято решение реализовывать симплекс-метод и метод Гомори не используя уже готовые решения, но ...
0 комментариев